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1、5.2 不等式的解法基础知识 自主学习要点梳理1.关于x的一元一次不等式ax+b0的解集当a0时为 ;当ab解集是R,则实数a,b满足的条件是 .2.一元二次不等式一般地，含有一个未知数且未知数的最高次数为 的不等式，叫做一元二次不等式.a=0,b0=00）的图图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的根有两相异实实根 x1，x2（x10 （a0）的解集ax2+bx+c0)的解集Rx|xR且xx1x|xx2或 x0）的求解的算法过程：5.解一元二次不等式的一般步骤（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.（2）计算相应的判别式.（3）当0时，求出相应的一元二次方程的两根；（4
2、）根据一元二次不等式解的结构，写出其解集. （5）当含有参数时，必须要分类讨论.分类是由不确定和不统一而引起的，分类标准是根据需要而设定的，这种“需要”可能是：是什么不等式（一元一次？一元二次？）、开口方向如何、根的判别式的正负、根的大小等.要特别注意三个“二次”之间的联系， 重视数形结合的思想和分类讨论思想的应用.注意基础础自测测1.（2010淮安调研）函数 的定义域是解析 由x2+x-120得(x-3)(x+4)0，x-4或x3.2.已知集合A=x|x2-7x+60，xZ,B=x|2x2-x-60,xZ，则AB的子集个数为 解析 由x2-7x+60，得1x6，A=1，2，3，4，5，6，由
3、2x2-x-60，得x2，B=x|x2，且xZ,AB=3,4,5,6 AB的子集共有24=16个.x|x-4或x3163.已知函数 则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .解析 （1）当x+10恒成立,=1-4（-a2+a+1）0;（2）-3x2-2x+80；（3）12x2-axa2(aR).解 （1）=42-4230恒成立，所以不等式2x2+4x+30的解集为R.（2）原不等式可化为3x2+2x-80，方程3x2+2x-8=0的两根为-2, ,结合二次函数y=3x2+2x-8的图象可知原不等式的解集为x|-2x .（3）原不等式可化为12x2-ax-a20方程12x2-ax-a2=0
4、的两根为 当a0时，原不等式解集为x|x 或x .跟踪练习1 （1）解下列不等式：-x2+2x- 0;8x-116x2.(2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10 x2-2x+ 0,且方程3x2-6x+2=0的两根为原不等式解集为 方法一 原不等式即为16x2-8x+10，其相应方程为16x2-8x+1=0, =(-8)2-416=0,上述方程有两相等实根 结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知， 原不等式的解集为R.方法二 8x-116x2 16x2-8x+10 (4x-1)20,xR,不等式的解集为R.(2)若a=0,原不等式 -x+11.若a1时，(*)式 1;当a=0时，解集
5、为x|x1;当01时，解集为x| 0的解集是x|-30的解集是x|-31.于是原不等式可化为（a-1）x2+4x-60,其解集为x|-30的解集为试求a、c的值，并解不等式-cx2+2x-a0.解 由ax2+2x+c0的解集为知a0. 即化为2x2-2x-120 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.一元二次不等式恒成立问题：（1）不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数的充要 条件：当a=0时，b=0,c0;a00.m=-5不符合条件.（2）若m2+4m-50,则原命题等价于m2+4m-50,16(m-1)2-12(m2+4m-5)0a0，应讨论a与b的大小再确定不等式的解.解一元二次不等
6、式的一般过程是：一看（看二次项系数的符号），二算（计算判别式，判断方程根的情况），三写（写出不等式的解集）.4.应注意讨论ax2+bx+c0的二次项系数a是否为零的情况.5.要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想.分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则.含参数不等式的解法问题，是高考的重点内容，主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.定时检测一、填空题1.（2010江苏南京模拟）不等式组的解集为 .解析 2.（2009山西临汾调研）设A=x|x2-2x-30, B=x|x2+ax+b0，若AB=R，AB= （3,4，则a+b= .解析 A=（-,-1）(3,+),AB=R,AB=
7、(3,4,则B=-1，4，a=-(-1+4)=-3,b=-14=-4, a+b=-7.x|00的解集为R，则实数a的取值范围是；若关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 .解析 由x2-ax-a0恒成立，则=（-a）2-4(-a)11的解集为 .解析 由导函数图象知当x0，即f(x)在（-,0)上为增函数；当x0时，f(x)1等价于f(x2-6)f(-2)或f(x2-6)f(3),即-20对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式 +2t-30对一切实数xR恒成 立，则=（-2a）2-4a0，解得t1.（-,-3）(1,+)9.（2010济宁模拟）若关于x的不等式 x
8、2-ax-6a0;(2)当不等式f(x)0的解集为（-1，3）时，求实数a,b的值.解 （1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3.f(1)0,-a2+6a+b-30.=24+4b.当b-6时，0.f(1)0的解集为 ;当b-6时，3- 0的解集为a|3- 0的解集为；当b-6时，f(1)0的解集为a|3- 0的解集为（-1,3）.f(x)0与不等式（x+1）(x-3)1(aR).解 (2)f(x)1,即ax2+x-a1,(x-1)(ax+a+1)0,当a=0时，x1,当a0时，(x-1)(x+1+ )0, x1或x1;a0时，原不等式解集为x|x1或x-1- .12.（20
9、10福建三明模拟）某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率.据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值.解 税率为P%时，销售量为（80-10P）万件，即f(P)=80（80-10P），税金为80（80-10P）P%，其中0P8.80(80-10P)P%96, 0P8.（2）f(P)=80(80-10P)(2P6)为减函数，当P=2时，厂家获得最大的销售额为f(2)=4 800(万元).（3）0P8,g(P)=80(80-10P)P%=-8(P-4)2+128,当P=4时，国家所得税金最多为128万元.（1）由解得2P6.返回
