《2018年人教版高中数学必修四第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年人教版高中数学必修四第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.12.1 平面向量的实际背景及基本平面向量的实际背景及基本概念概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一 向量的概念思考 1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考 2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不
2、能比较大小.梳理 向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二 向量的表示方法思考 1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案 可以用一条有向线段表示.思考 2 0 0 的模长是多少？0 0 有方向吗？答案 0 0 的模长为 0，方向任意.思考 3 单位向量的模长是多少？答案 单位向量的模长为 1 个单位长度.梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案2它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向
3、线段记作.AB(2)向量的字母表示：向量可以用字母a a， b b， c c，表示(印刷用黑体a a，b b，c c，书写时用， ， ).abc(3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作|.长度为ABABABAB0 的向量叫做零向量，记作 0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量.知识点三 相等向量与共线向量思考 1 已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？ABBA答案 因为向量和向量方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线ABBA上，所以两向量共线.思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相
4、同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考 3 若a ab b，b bc c，那么一定有a ac c吗？答案 不一定.因为当b b0 0 时，a a，c c可以是任意向量.梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量a a平行于b b，记作abab.规定：零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的
5、，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.类型一 向量的概念例 1 下列说法正确的是( )A.向量与向量的长度相等ABBA2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案3B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等答案 A解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故 B，C，D 都错误，A 正确.故选 A.反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟
6、踪训练 1 下列说法正确的有 .(1)若|a a|b b|，则a ab b或a ab b；(2)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；ABCD(3)向量与是平行向量.ABBA答案 (3)解析 (1)错误.|a a|b b|仅说明a a与b b的模相等，不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一ABCD直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.(3)正确.向量和是长度相等，方向相反的两个向量.ABBA类型二 共线向量与相等向量例 2 如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点. (
7、1)写出与共线的向量；EF(2)写出与的模大小相等的向量；EF(3)写出与相等的向量.EF解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，1 2所以与共线的向量有， ， ， ， ， ，.EFFEBDDBDCCDBCCB(2)与模相等的向量有， ， ， ，.EFFEBDDBDCCD2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案4(3)与相等的向量有与.EFDBCD反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练 2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与的模相等的向量有多少个？O
8、A(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？OA(3)与共线的向量有哪些？OA解 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，OA所以这样的向量共有 23 个.(2)存在.由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，OAAO， ， ，共 4 个.ODFEBC(3)由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，OABC， ， ， ， ， ， ， ，共 9 个.CBEFFEAOODDOADDA类型三 向量的表示及应用例 3 一辆汽车从A点出发向西行驶了 100 km 到达B点，然后又
9、改变方向，向西偏北 50的方向走了 200 km 到达C点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达D点.(1)作出向量、 、 ；ABBCCD(2)求|.AD解 (1)向量、 、如图所示.ABBCCD(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，ABCDABCD2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案5|，ABCD在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|200 km.ADBCADBC反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量a a，每个小正方形的边长为 1. (1
10、)试以B为终点画一个向量b b，使b ba a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c c，使|c c|，并说出向量c c的终点的轨迹是什么？5解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a a平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作5图略).1.下列结论正确的个数是( )温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a a与b b不共线，则a a与b b都是非零向量；若|a a|b b|，则a ab b.A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为 0，故
11、错；向量不可以比较大小，故错；若a a，b b中有一个为零向量，则a a与b b必共线，故a a与b b不共线，则应均为非零向量，故对.2.下列说法错误的是( )A.若a a0 0，则|a a|0B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案6D.零向量的方向是任意的答案 B解析 零向量的长度为 0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的.3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )ABDCA. B.|ABDCABDCC. D.ABDCABDC答案 B解析 |与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.ABDC4.
12、如图所示，以 12 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与、相等的向量；AFAE(2)写出与模相等的向量.AD解 (1)，.(2)， ，.AFBECDAEBDDACFFC1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位
13、向量的终点在平面内形成一个单位圆.课时作业课时作业一、选择题1.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程.其中是向量的有( )A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案7答案 C解析 是向量.2.下列说法中正确的个数是( )任一向量与它的相反向量不相等；一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；单位向量的模都相等.A.0 B.1 C.2 D.3答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a ab b，则a a与b b的方向相同或相反B.若a ab b，b bc c，则a ac cC.若两个单位向量平行，则
14、这两个单位向量相等D.若a ab b，b bc c，则a ac c答案 D4.如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是( ) ABDCA.与 B.与ADCBOBODC.与 D.与ACBDAOOC答案 D解析 ，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分，.ABDCAOOC5.如图，在菱形ABCD中，BAD120，则以下说法错误的是( ) A.与相等的向量只有一个(不含)ABABB.与的模相等的向量有 9 个(不含)ABABC.的模恰为的模的倍BDDA3D.与不共线CBDA答案 D2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案8解析 由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量
15、有，ABDCABDCABDA， ， ， ， ， ， ， ，因此选项 B 正确.而 RtAOD中，ADO30，DCACCBADCDCABCBA|，故|，因此选项 C 正确.由于，因此与是共线的，DO32DADB3DACBDACBDA故选 D.6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( ) A.|ABEFB.与共线ABFHC.与共线BDEHD.CDFG答案 C7.以下命题：|a a|与|b b|是否相等与a a，b b的方向无关；两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 错误.二、填空题8.在四边形ABCD中，若且|，则四边形的形状为 .ABDCABAD答案 菱形解析 ，AB綊DC，ABDC四边形ABCD是平行四边形，|，四边形ABCD是菱形.ABAD9.给出以下 5 个条件：a ab b；
