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1、附录B概率分布的特征附录B2B.1 期望：集中趋势的度量B.2 方差：离散程度的度量B.3 协方差B.4 相关系数B.5 条件期望B.6 偏度和峰度B.7 从总体到样本B.8 小结附录B3B.1 B.1 期望值：集中趋势的度量期望值：集中趋势的度量期望期望（expected value expected value ）：集中趋势的度量集中趋势的度量离散型随机变量的期望值用符号E（X）表示。定义为：例3-1 掷一个骰子若干次。随机变量X表示正面朝 上的数字，求X的期望值。（下表）附录B4表3-1 随机变量（正面朝上数字）的期望值正面朝上的数字 概率 数字*概率X f(x) xf(x)1 1/6
2、1/62 1/6 2/63 1/6 3/64 1/6 4/65 1/6 5/66 1/6 6/6E(X) = 21/6 =3.5附录B5概率分布1/6图3-1 离散型随机变量(例3-1)的期望值,E(X)f(x)X附录B6？ 在上例中，打印机销售量的期望值是多少？我们仍可从 表2-4中得到。 例3-2 在例2-17中，电脑销售量的期望值是多少？我们可从 中得到。把变量X的各可能值与其相对应的概率之积累加即得电脑销售量的期望值。0(0.08)+1(0.12)+2(0.24) +3(0.24)+4(0.32)=2.6因此，电脑每天的平均销售量为2.6台。表2-4 0(0.11)+1(0.16)+2
3、(0.23) +3(0.27)+4(0.23)=2.35即每天打印机的平均销售量为2.35台。附录B70 0.08 0 0.111 0.12 1 0.162 0.24 2 0.23 3 0.24 3 0.274 0.32 4 0.23 总计 1.00 总计 1.00 X f(X) Y f(Y)表2-4 个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的边缘分布附录B81.若b为常数，则有： E（b）= b2.给定随机变量X和Y，有 E（X+Y）=E（X）+E（Y）3.4.5.若a为常数，则有：6.6.若若a a、b b为常数，那么为常数，那么：B.1.1 期望的性质除非两个随机变量相互独立。附录B9B.2
4、 B.2 方差方差(variance)(variance)：离散程度的度量：离散程度的度量方差定义为：表明了随机变量X的各取值与其期望值的偏离程度。如图3-2。 若X为离散型随机变量，通常用下列公式计算方差标准差(standard deviation, s.d)：方差的正的方根。附录B103-2附录B11例3-4： 接例3-1，求随机变量X（表示正面朝上的数字）的方差。正面朝上的数字 概率X f(x) (x-(EX)2*f(x)1 1/6 (1-3.5)2(1/6) 2 1/6 (2-3.5)2(1/6) 3 1/6 (3-3.5)2(1/6) 4 1/6 (4-3.5)2(1/6) 5 1/
5、6 (5-3.5)2(1/6) 6 1/6 (6-3.5)2(1/6) 总计2.9167VAR(X) = 2.9167附录B121. 常数的方差为零。2. 若X与Y 是两个相互独立的随机变量，那么：var(X+Y)=var(X)+var(Y)var(X-Y)=var(X)+var(Y)3. 若b是常数，则 var(X+b)=var(X)4. 如果a是常数，则5. 如果a,b是常数，则6. 如果X与Y相互独立，a,b是常数，则B.2.1 B.2.1 方差的性质：方差的性质：附录B13B.2.2 B.2.2 切比雪夫不等式切比雪夫不等式如果随机变量X的均值和方差分别为 ，那么对任意给的正数c，有：
6、例3-5：一个油炸圈饼店每天上午8点到9点平均卖出油炸圈饼100个，方差为25。那么，某天在8到9点间卖出90110个油炸圈饼的概率至少是多少？附录B14B.2.3 B.2.3 变异系数变异系数变异系数(coefficient of variation,V)度量相对变动，定义为：例3-6：某讲师讲授两个班的初级经济计量学课程，每班各15名学生。在期中考试中，A班平均83分，标准差为10，B班平均88分，标准差为16。哪个班的成绩更好？由于A班的相对变动小，所以说A班成绩的总体情况好于B班。附录B15B.3 B.3 协方差协方差(covariance)(covariance)令随机变量X和Y的期
7、望分别为 其协方差为：假定X和Y是离散型随机变量，协方差用下式计算对于连续型随机变量可用积分符号代替求和符号。附录B161.若随机变量X，Y独立，协方差为零。2.其中，a,b,c,d为常数。3. cov(X,X)=var(X)协方差的性质附录B17例3-7：再次回到个人电脑/打印机销售一例，现利用协方差的计算公式计算电脑销售量X和打印机销售量Y的协方差。已知：0.03 0.03 0.02 0.02 0.010.02 0.05 0.06 0.02 0.010.01 0.02 0.10 0.05 0.050.01 0.01 0.05 0.10 0.100.01 0.01 0.01 0.05 0.1
8、50.08 0.12 0.24 0.24 0.3201234总计f(x)出售个人电脑的数量（X） 0 1 2 3 4表2-3 个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的二元概率分布总计f(y)0.110.160.230.270.23 1.00出售 打印 机的 数量(Y)附录B18相关系数定义如下B.4.1 相关系数的性质B.4 B.4 相关系数相关系数 (correlation)(correlation)1. 相关系数与协方差同号 2. 相关系数度量了两变量间的线性关系 3. 相关系数是一个纯数值，且满足：4. 如果两变量独立，则协方差、相关系数都为0，但如 果两变量的相关系数为0，并不意味着这两
9、个变量相互 独立。 5. 相关并不一定意味着存在因果关系。附录B193-3附录B20例3-8 继续个人电脑/打印机一例，现计算两变量的相关系数。已知两个变量的协方差为0.95，根据表2-4中的数据可以得到即两变量存在一定的正相关关系，这也是很容易理解的。附录B213.4.2 3.4.2 相关变量的方差相关变量的方差特别地：附录B22B.5 B.5 条件期望值条件期望值( (conditional expectationconditional expectation) )例3-9：在个人电脑/打印机一例中，计算E(Y|X=2)，即在每天售出2台个人电脑的条件下销售打印机的条件期望。附录B23B.
10、6 偏度(skewness)与峰度(kurtosis)偏度与峰度是用于描述概率密度函数形状的数 字特征。偏度S是对称性的度量，峰度K是一个概率密度函数高低或胖瘦的度量。偏度大于0，称其为正偏或右偏，偏度小于0为负偏或 左偏。可以计算得到正态分布的S0，K3。附录B24附录B25B.7 从总体到样本如果我们想考察我国20岁女性的身高情况，我们知 道，若设其为X，这是一个随机变量。描述该随机变量，可以用概率密度函数或用期望、方差等数字特征。 但这些都是未知的。现在，我们可以把我国所有20岁女性身高值构成的 集合看成是一个总体,我们来考察这一总体的情况。考察方法之一是从总体中抽取一个样本，通过样本的
11、特征来反映总体的情况。所以我们必须知道样本矩(sample moments)的计算方法。附录B261. 样本均值2. 样本方差3. 样本协方差4. 样本相关系数从总体中抽取的样本设为：附录B275. 样本偏度与样本峰度 对照下公式 总体偏度S总体峰度K样本三阶矩与样本四阶矩为： 附录B28例3-11： 设有两变量X(股票价格)和Y(消费者价格 CPI )构成的 二元总体。假设从该总体中得到一个随机样本(见Excel 文件)，在本例中，股票价格X用道琼斯指数均值来 度量，消费者价格Y用消费者价格指数来度量。求该随机样本的各样本矩。利用Excel文件具体计算。附录B29作业：第3章书后习题：3.5、3.7、3.13
