《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章1.31.3.1圆幂定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章1.31.3.1圆幂定理（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案1_1.3圆幂定理与圆内接四边形13.1 圆 幂 定 理对应学生用书 P25 读教材填要点1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项3圆幂定理已知(O，r)，通过一定点 P，作O 的任一条割线交圆于 A，B 两点，则 PAPB 为定值，设定值为 k，则：(1)当点 P 在圆外时，kPO2r2，(2)当点 P 在圆内时，kr2OP2，(3)当点 P 在O 上时，k0.小问题大思维1从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的
2、交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等2从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离对应学生用书 P26 2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案2相交弦定理的应用例 1 如图，AB、CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD a，OAP30，求 CP 的长23思路点拨 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用解决本题需要先在 RtOAP 中，求得 AP 的长，然后利用相交弦定理求解精解详析 P 为 AB 的中
3、点，由垂径定理得 OPAB.在 RtOAP 中，BPAPacos30a.32由相交弦定理，得 BPAPCPDP，即2CP a，解之得 CP a.(32a)2398在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项1如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF3，FB1，EF ，32则线段 CD 的长为_解析：因为 AF3，EF ，FB1，32所以 CF2，AFFBEF3 132因为 ECBD，所
4、以ACFADB，所以 ，AFABCFBDACADADCDAD342017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案3所以 BD ，且 AD4CD，CFABAF2 4383又因为 BD 是圆的切线，所以 BD2CDAD4CD2，所以 CD .43答案：43切割线定理的应用例 2 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA，切点为 A，M 为 PA 的中点，过点 M 引圆的割线交圆于 B，C 两点，且BMP100，BPC40.求MPB 的大小思路点拨 本题考查切割线定理，由定理得出BMPPMC 而后转化角相等进行求解精解详析 因为 MA 为圆 O 的切线，所以 MA2MBMC.又 M
5、 为 PA 的中点，所以 MP2MBMC.因为BMPPMC，所以BMPPMC，于是MPBMCP.在MCP 中，由MPBMCPBPCBMP180，得MPB20.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一2.(北京高考)如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D.若PA3，PDDB916，则 PD_；AB_.解析：设 PD9t，DB16t，则 PB25t，根据切割线定理得 329t25t，解得2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案4t ，所以 PD ，PB5.在直角三角
6、形 APB 中，根据勾股定理得 AB4.1595答案： 495三个定理的综合应用例 3 如图所示，已知 PA 与O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CDAP，AD、BC 相交于 E 点，F 为 CE 上一点，且 DE2EFEC.(1)求证：PEDF；(2)求证：CEEBEFEP；(3)若 CEBE32，DE6，EF4，求 PA 的长思路点拨 本题考查切割线定理、相交弦定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用精解详析 (1)证明：DE2EFEC，DECEEFED.DEF 是公共角，DEFCED.EDFC.CDAP，CP.PEDF.(2)证明：P
7、EDF，DEFPEA，DEFPEA.DEPEEFEA.即 EFEPDEEA.弦 AD、BC 相交于点 E，DEEACEEB.CEEBEFEP.(3)DE2EFEC，DE6，EF4，EC9.CEBE32，BE6.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案5CEEBEFEP，964EP.解得：EP.272PBPEBE，PCPEEC.152452由切割线定理得：PA2PBPC，PA2.152452PA.152 3相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合
8、，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理3如图所示，过点 P 的直线与O 相交于 A，B 两点若 PA1，AB2，PO3，则O 的半径等于_解析：设O 的半径为 r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长 PO 交O 于点 C，则 PCPOr3r.设 PO 交O 于点 D，则 PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r .6答案：62017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案6对应学生用书 P27 一、选择题1.如右图，O 的直径 CD 与弦 A
9、B 交于 P 点，若AP4，BP6，CP3，则O 半径为( )A5.5 B5C6 D6.5解析：由相交弦定理知 APPBCPPD，AP4，BP6，CP3，PD8.APBPCP4 63CD3811，O 的半径为 5.5.答案：A2如图，P 是圆 O 外一点，过 P 引圆 O 的两条割线PB，PD，PAAB ，CD3，则 PC 等于( )5A2 或5 B2C3 D10解析：设 PCx，由割线定理知 PAPBPCPD.即2 x(x3)，解得 x2 或55x5(舍去)故选 B.答案：B3.如图，AD、AE 和 BC 分别切O 于 D，E，F，如果AD20，则ABC 的周长为( )A20 B30C40
10、D35解析：AD，AE，BC 分别为圆 O 的切线AEAD20，BFBD，CFCE.ABC 的周长为 ABACBCABACBFCF(ABBD)(ACCE)ADAE40.答案：C4如图，ABC 中，C90，O 的直径 CE 在 BC 上，且与 AB 相切于 D 点，若COOB13，AD2，则 BE 等于( )2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案7A. B232C2 D1解析：连接 OD，则 ODBD，RtBODRtBAC.ODACBDBC设O 的半径为 a，OCOB13，OEOC，BEEC2a.由题知 AD、AC 均为O 的切线，AD2，AC2. ，BD2a2.a2B
11、D4a又 BD2BEBC，BD22a4a8a2.4a48a2，a.2BE2a2.2答案：B二、填空题5(重庆高考)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作割线 PBC 分别交圆于B，C.若 PA6，AC8，BC9，则 AB_.解析：如图所示，由切割线定理得 PA2PBPCPB(PBBC)，即62PB(PB9)，解得 PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，则，即，解得ABCAAPCPAB8639AB4.答案：46如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则
12、线段 CE 的长为2_解析：设 BEx，则 FB2x，AF4x，由相交弦定理得 DFFCAFFB，即 28x2，解得 x ，EA ，再由切割线定理得 CE2EBEA ，所以 CE.1272127274722017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案8答案：727.如图，O 的弦 ED、CB 的延长线交于点 A.若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_；CE_.解析：由切割线定理知，ABACADAE.即 463(3DE)，解得 DE5.BDAE，且 E、D、B、C 四点共圆，C90.在直角三角形 ACE 中，AC6，AE8，CE2.64367答案：5 278(重庆高考)如
13、图，在ABC 中，C90，A60，AB20，过 C 作ABC 的外接圆的切线 CD，BDCD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为_解析：由题意得 BCABsin 6010.3由弦切角定理知BCDA60，所以 CD5，BD15，3由切割线定理知，CD2DEBD，则 DE5.答案：5三、解答题9如图，PT 切O 于 T，PAB，PDC 是圆 O 的两条割线，PA3，PD4，PT6，AD2，求弦 CD 的长和弦 BC 的长解：由已知可得 PT2PAPB，且 PT6，PA3，PB12.同理可得 PC9，CD5.PDPCPAPB，PDPBPAPCPDAPBC，BC6.ADBCPDPB4122BC
14、10如图，O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P.(1)求证：PM2PAPC；2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案9(2)若O 的半径为 2 ，OA OM，求 MN 的长33解：(1)证明：连接 ON，则 ONPN，且OBN 为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.由条件，根据切割线定理，有 PN2PAPC，所以 PM2PAPC.(2)依题意得 OM2，在 RtBOM 中，BM 4.OB2OM2延长 BO 交O 于点 D，连接 DN.由条件易知BOMBND，于是，BOBNBMBD即，得 BN6.2 3BN44 3所以 MNBNBM642.11如下图，已知O1和O2相交于 A、B 两点，过点 A
