《2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案2.3.2离散型随机变量的方差含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案2.3.2离散型随机变量的方差含解析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 123.2 离散型随机变量的方差对应学生用书P37A，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数 X10123P0.70.20.060.04B 机床次品数 X20123P0.80.060.040.10问题 1：试求 E(X1)，E(X2)提示：E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.问题 2：由 E(X1)和 E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为 E(X1)E(X2)问题 3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差1离散型随机变量的方差(1)
2、设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，xn，这些值对应的概率分别为 p1，p2，pn，则 D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn叫做这个离散型随机变量的方差D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量 X 的标准差DX(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小2二点分布和二项分布的方差条件X 服从二点分布XB(n，p)方差p(1p)np(1p)1离散型随机变量的方差的意义：随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量 X 取值的稳定性和波动、集中2和离散程度D(X)越
3、小，稳定性越高，波动越小2随机变量的方差和样本方差之间的关系：(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差对应学生用书P37求离散型随机变量的方差例 1 已知 X 的分布列为X010205060P1325115215115求随机变量的均值和方差思路点拨 利用方差公式求解，首先求出均值 E(X)，然后利用 D(X)的定义求方差精解详析 E(X)0 10 20506016，1325115215115D(X)(016)2 (1016)2 (2016)2
4、(5016)2(6016)13251152152384.115一点通 已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可1已知 XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则 n 与 p 的值分别是( )An100，p0.08 Bn20，p0.4Cn10，p0.2 Dn10，p0.8解析：由于 XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6.所以 np8，np(1p)1.6，解之得 n10，p0.8.答案：D2设随机变量 X 的概率分布为 P(Xk)(1p)kp1k(k0,1)，则 E(X)、D(X)的值分别是( )3A0 和 1 Bp 和 p2Cp 和 1p D1p
5、 和 p(1p)解析：随机变量 X 的概率分布为 P(Xk)(1p)kp1k(k0,1)，则 P(X0)p，P(X1)1p，所以 E(X)0p1(1p)1p，所以 D(X)0(1p)2p1(1p)2(1p)p(1p)答案：D求实际问题中的均值和方差例 2 袋中有大小相同的小球 6 个，其中红球 2 个、黄球 4 个，规定取 1 个红球得 2分，1 个黄球得 1 分从袋中任取 3 个小球，记所取 3 个小球的分数之和为 X，求随机变量 X 的分布列、均值和方差思路点拨 确定随机变量 X 的取值，列出其分布列，再计算均值和方差精解详析 由题意可知，X5,4,3.P(X5) ；P(X4) ；C2 2
6、C1 4C3 615C1 2C2 4C3 635P(X3) .C3 4C3 615故 X 的分布列为X543P153515E(X)5 4 3 4.153515D(X)(54)2 (44)2 (34)2 .15351525一点通 1离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列2在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算3从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的均值
7、和方差解：(1)X 的可能的取值为 0,1,2，4P(Xk)，k0,1,2.Ck 2C3k4C3 6X 的分布列为X012P153515(2)由(1)得，X 的均值与方差为E(X)0 1 2 1.153515D(X)(01)2 (11)2 (12)2 .153515254(全国新课标改编)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日
8、需求量 n14151617181920频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差解：(1)当日需求量 n16 时，利润 y80；当日需求量 n16 时，利润 y10n80.所以 y 关于 n 的函数解析式为yError!(nN)(2)X 可能的取值为 60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X 的分布列为X607080P0.10.20.7X 的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X 的方差为D(
9、X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.5均值和方差的实际应用例 3 (10 分)从甲、乙两运动员中选一人参加 2012 年伦敦夏季奥运会，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：X1(甲得分)012P(X1xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2xi)0.30.30.4欲从甲、乙两运动员中选一人参加 2012 年伦敦夏季奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？思路点拨 可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁精解详析 由题意，E(X1)00.210.520.31.1，E(X2)00.310.3
10、20.41.1.(4 分)E(X1)E(X2)D(X1)(01.1)20.2(11.1)20.5(21.1)20.30.49，D(X2)(01.1)20.3(11.1)20.3(21.1)20.40.69，(8 分)D(X1)D(X2)，则自动包装机_的质量较好解析：因为 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，故乙包装机的质量稳定答案：乙6已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数变量为 X，乙射击时射中的环数变量为 Y.6
11、(1)求 X，Y 的分布列(2)求 X，Y 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术解：(1)依据题意，0.53aa0.11，解得 a0.1.因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2，所以乙射中 7 环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以 X，Y 的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中 X，Y 的分布列可得：E(X)100.590.380.170.19.2，E(Y)100.390.380.270.28.7，D(X)(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.
12、10.96，D(Y)(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于 E(X)E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为 D(X)D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定1已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解2如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算对应课时跟踪训练十六1已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk) ，k3,6,9.则 D(X)等于( )13A6 B9C3 D4解析：E(X)3 6 9 6.131313D(X)(36)2 (66)2 (96)2 6
13、.1313137答案：A2设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P(A)m.令随机变量 ZError!则 Z 的方差AD(Z)等于( )Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)解析：由题意知，E(Z)m，则 D(Z)m(1m)答案：D3某人从家乘车到单位，途中有 3 个路口假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )A0.48 B1.2C0.72 D0.6解析：途中遇红灯的次数 X 服从二项分布，即 XB(3,0.4)，D(X)30.40.60.72.答案：C4若 XB(n，p)且 E(X)6，D(X)3，则 P(X1)的值为(
14、)A322 B24C3210 D28解析：XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)Error!Error!P(X1)C( )1(1 )113210.1 121212答案：C5(浙江高考)随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(0) ，E()1，则 D()_.15解析：由题意设 P(1)p， 的分布列如下012P15pp45由 E()1，可得 p ，35所以 D()12 02 12 .15351525答案：2586设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_解析：成功次数 XB(100，p)，所示 D(X)100p(1p)100225，(p1p2)当且仅当 p1p 即 p 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 5.12答案： 5127根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利 230 元，小雨天盈利163 元，中雨天盈利 90 元根据天气预报，明天无雨的概率是 0.2，有小雨的概率是 0.3，有中雨的概率是 0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？解：用 X 表示明天发一辆车的盈利，由题意知 P(X23
