《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式课堂探究学案含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式课堂探究学案含答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案3.23.2 均值不等式均值不等式课堂探究课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案例如，当x0，则f(x)x22，此时有f(x)2因此，当所求最值的代数式中的各1 x(x) 1 x项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式(2)ab与ab有一个是定值，即当ab是定值时，可以求ab的最值；当ab是定值时，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就会得出错误答案例如，当x1 时，函数f(x)x
2、2，所以函数f(x)的最小值是 2由于 21 x1x x1x x1是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案其原因是没有掌握均值不等x x1式求最值的条件：ab与ab有一个是定值其实，当x1 时，有x10，则函数f(x)x1213因此，当ab与ab没有一1 x1(x1)1 x1(x1) 1 x1个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得如果忽视这一点，就会得出错误答案例如，当x2 时，函数f(x)abab 2x 22，所以函数f(x)的最小值是 2很明显x 中的各项都是正数，积1
3、 xx1 x1 x也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ，即x1，而函数的定义域是x2，所1 x以这是一个错误的答案其原因是均值不等式中的等号不成立其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值利用函数单调性的定义可以证明，当x2 时，函数f(x)x 是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)2 1 x1 25 22017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等二、教材中的二、教材中的“思考与讨论思考与讨论”
4、均值不等式与不等式a2b22ab的关系如何？请对此进行讨论剖析：剖析：(1)在a2b22ab中，a，bR R；在ab2中，a，b0ab(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)(3)证明的方法都是作差比较法(4)都可以用来求最值题型一题型一 利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值【例例 1】1】 (1)已知x，y(0，)，且 2xy1，求 的最小值；1 x1 y(2)已知x0，f(x)x24 x2(2x)4 2x222，(2x)(4 2x)当且仅当 2x，得x0 或x4(舍去)，即x0 时，等号成立4 2xx取得最大值24 x2反思：反思：求最值问题第一步
5、就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口定值找到还要看“”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“”是否成立题型二题型二 利用均值不等式比较大小利用均值不等式比较大小2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案【例例 2】2】 若ab0，试比较a，b的大小a2b2 2ab 2ab2 1 a1 b分析：分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法解：解：ab0，aa2b2 2a2a2 2a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，2a2b2 2(ab 2)又a0，b0，则a2b2 2(ab 2)2ab
6、2，1 a1 b 21 a1 bab2 1 a1 bb0，b2 1 a1 bb(ab) ab2 1 a1 baba2b2 2ab 2ab2 1 a1 b反思：反思：均值不等式ab2(a，bR R)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值ab的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题有趣的不等式链(a，bR R)，揭示了两正数倒数a2b2 2ab 2ab2 1 a1 b和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用题型三题型三 利
7、用均值不等式证明不等式利用均值不等式证明不等式【例例 3】3】 已知已知a a，b b，c c都是正实数，且都是正实数，且a ab bc c1 1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc分析：分析：注意到abc1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式证明：证明：abc1，(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)又a，b，c都是正实数，0，0，0ab 2abbc 2bcac 2ac2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案abc(ab)(bc)(ac) 8(1a)(1b)(1c)8abc当且仅当abc 时，等号成立1 3反思：反思：这是一道条
8、件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“”必须同时取到题型四题型四 利用均值不等式解恒成立问题利用均值不等式解恒成立问题【例例 4】4】 已知不等式(xy)9 对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值分析：分析：解：解：(xy)1a ，又(1 xa y)y xax yx0，y0，a0， 22，y xax yy xax ya1a 1a2，y xax ya要使(xy)9 对任意正实数x，y恒成立，只需 1a29 恒成立即(1 xa y)a可(1)29，即13，a4，正实数a的最小值为 4aa反思：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法
9、中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查题型五题型五 易错辨析易错辨析【例例 5】5】 已知 0x1，求f(x)2log5x的最值5 log5x错解：错解：f(x)2log5x2222，f(x)的最小值为5 log5xlog5x5 log5x5225错因分析：错因分析：ab2的前提条件是aba，b0，0x1，log5x00不能直接使用均值不等式5 log5x正解：正解：0x1，log5x0(log5x)22(5 log5x)(log5x)(5 log5x)52017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案log5x25 log5x5f(x)225当且
10、仅当 log5x，即x5时，等号成立，此时f(x)有最大值 225 log5x55【例例 6】6】 求f(x)1 的最小值x24x23错解：错解：因为f(x)111213，所以x24x23x231x23x231x23f(x)1 的最小值为 3x24x23错因分析：错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程无解，所以等号不成x231x23立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值正解：正解：f(x)111x24x23x231x23x231x23令t(t)，x233则原函数变为f(x)t 1，在区间，)上是增函数1 t3所以当t时，f(x)t 1 取得最小值131 t4 33所以当t，即x0 时，f(x)1 取得最小值13x24x234 33
