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1、 1四弦切角的性质对应学生用书 P28弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(2)图形语言叙述：如图，AB 与O 切于 A 点，则BACD.说明 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数对应学生用书 P29弦切角定理例 1 (2010新课标全国卷)如图，已知圆上的弧，过A AACA ABDC 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.思路点拨 利用弦切角定理证明 (1)因为，A AACA ABD所以BCDABC.又因为 EC 与圆相切于点 C，故ACEAB
2、C，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB.2故，BCBECDBC即 BC2BECD.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角1如图，AB 为O 的直径，直线 EF 切O 于 C，若BAC56，则ECA_.解析：连接 BC，AB 为O 的直径，ACB90.B90BAC905634.又EF 与O 相切于点 C，由弦切角定理，有ECAB34.答案：342.如图，AB 是O 的弦，CD 是经过O 上的点 M 的切线，求证：(1)如果 ABCD，那么 A
3、MMB；(2)如果 AMBM，那么 ABCD.证明：(1)CD 切O 于 M 点，DMBA，CMAB.ABCD，CMAA.AB，故 AMMB.(2)AMBM，AB.CD 切O 于 M 点，CMAB，CMAA.ABCD.3如图，已知 AB 是O 的直径，直线 CD 与O 相切于点 C，AC 平分DAB.(1)求证：ADCD；3(2)若 AD2，AC，求 AB 的长5解：(1)证明：如图，连接 BC.直线 CD 与O 相切于点 C，DCAB.AC 平分DAB，DACCAB.ADCACB.AB 为O 的直径，ACB90.ADC90，即 ADCD.(2)DCAB，DACCAB，ADCACB.，ADAC
4、ACABAC2ADAB.AD2，AC，AB .552运用弦切角定理证明比例式或乘积式例 2 如图，PA，PB 是O 的切线，点 C 在上，A AABCDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为 D，E，F.求证：CD2CECF.思路点拨 连接CA、CB，CAPCBA、 CBPCABRt CAE Rt CBD Rt CBF Rt CADCECDCDCF结论证明 连接 CA、CB.PA、PB 是O 的切线，CAPCBA，CBPCAB.又 CDAB，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，CACBCECDCBCACFCD4，即 CD2CECF.CECDCDCF证明乘积式成立，往往
5、与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件4如图，已知 MN 是O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦 CD，弦 AB 交 CD 于 E.求证：AC2AEAB.证明：连接 BC.Error!Error!ACEABCAC2ABAE.ACABAEAC5如图，AD 是ABC 的角平分线，经过点 A、D 的O 和BC 切于 D，且 AB、AC 与O 相交于点 E、F，连接 DF，EF.(1)求证：EFBC；(2)求证：DF2AFBE.证明：(1)O 切 BC 于 D，CADCDF.AD 是ABC 的角平分线，BADCAD.又BADEFD，EFDCDF
6、.EFBC.(2)连接 DE，O 切 BC 于 D，BADBDE.由(1)可得BDEFAD，又O 内接四边形 AEDF，BEDDFA.BEDDFA.5.DEAFBEDF又BADCAD，DEDF.DF2AFBE.对应学生用书 P30一、选择题1P 在O 外，PM 切O 于 C，PAB 交O 于 A、B，则( )AMCBB BPACPCPCAB DPACBCA解析：由弦切角定理知PCAB.答案：C2如图，ABC 内接于O，EC 切O 于点 C.若BOC76，则BCE 等于( )A14 B38C52 D76解析：EC 为O 的切线，BCEBAC BOC38.12答案：B3如图，AB 是O 的直径，E
7、F 切O 于 C，ADEF 于 D，AD2，AB6，则 AC的长为( )A2 B3C2 D43解析：连接 BC，则ACB90，又 ADEF，6ADC90，即ADCACB，又ACDABC，ABCACD，AC2ADAB12，即 AC2.3答案：C4如图，AB 是O 直径，P 在 AB 的延长线上，PD 切O 于 C 点，连接 AC，若ACPC，PB1，则O 的半径为( )A1 B2C3 D4解析：连接 BC.ACPC，AP.BCPA，BCPP.BCBP1.由BCPCAP 得PC2PBPA，即 AC2PBPA.而 AC2AB2BC2，设O 半径为 r，则 4r2121(12r)，解得 r1.答案：A
8、二、填空题5.如图，已知 AB 与O 相切于点 M，且，且，A AMCA AMDA AMC为 圆周长，则A AMD14AMC_，BMC_，MDC_，MOC_.解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半答案：45 135 45 9076如图，AB 是O 的直径，PB，PE 分别切O 于 B，C，若ACE40，则P_.解析：连接 BC，AB 是O 的直径，ACB90.又ACE40，PCBPBC50.P80.答案：807.如图，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且PBOB2，PC 切圆 O 于 C 点，CDAB 于 D 点，则CD_.解析：连接 OC，PC 切O 于
9、C 点，OCPC.PBOB2，OC2.PC2.3OCPCOPCD，CD.2 2 343答案：3三、解答题8.如图所示，O1与O2交于 A、B 两点，过O1上一点 P 作直线 PA、PB 分别交O2于点 C 和点 D，EF 切O1于点 P.求证：EFCD.证明：如图，连接 AB，EF 是O 切线，FPAPBA.又在O2中，ABCD 为O 内接四边形，CABP.FPAC.EFCD.9.如图所示，ABC 内接于O，ABAC，直线 XY 切O 于点C，弦 BDXY，AC、BD 相交于 E.(1)求证：ABEACD；(2)若 AB6 cm，BC4 cm，8求 AE 的长解：(1)证明：因为 XY 是O
10、的切线，所以12.因为 BDXY，所以13，所以23.因为34，所以24.因为ABDACD，又因为 ABAC，所以ABEACD.(2)因为32，ABCACB，所以BCEACB，BCACCECBACCEBC2.因为 ABAC6 cm，BC4 cm，所以 6(6AE)16.所以 AE cm.10310.如图，ABC 内接于圆 O，AD 平分BAC 交圆 O 于点 D，过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD 于点 E.(1)求证：EBDCBD；(2)求证：ABBEAEDC.证明：(1)BE 为圆 O 的切线，EBDBAD，又AD 平分BAC，BADCAD，EBDCAD，又CBDCAD，EBDCBD.(2)在EBD 和EAB 中，EE，EBDEAB，EBDEAB，BEAEBDABABBEAEBD，又AD 平分BAC, BDDC，故 ABBEAEDC.
