《2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1创新应用教学案第一讲四直角三角形的射影定理含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1创新应用教学案第一讲四直角三角形的射影定理含答案（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1四直角三角形的射影定理对应学生用书 P141射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段(3)射影：点和线段的正射影简称为射影2射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项(2)图形语言：如图，在 RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，则有 CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB.对应学生用书 P14射影定理的有关计算例 1 如图，在 RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，若
2、AD2 cm，DB6 cm，求 CD，AC，BC 的长思路点拨 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理解 CD2ADDB2612，CD2(cm)123AC2ADAB2(26)16，AC4(cm)16BC2BDAB6(26)48，BC4(cm)4832故 CD、AC、BC 的长分别为 2 cm,4 cm,4 cm.33(1)在 RtABC 中，共有 AC、BC、CD、AD、BD 和 AB 六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条1.如图，在 RtABC 中，C90，CD 是 AB 上的高已知BD4，AB29，试求
3、出图中其他未知线段的长解：由射影定理，得 BC2BDAB，BC2.BDAB4 2929又ADABBD29425.且 AC2AB2BC2，AC5.AB2BC22924 2929CD2ADBD，CD10.ADBD25 42已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC，BC 的长度比为ACBC34.求：(1)ADBD 的值；(2)若 AB25 cm，求 CD 的长解：(1)AC2ADAB，BC2BDAB，.ADABBDABAC2BC2()2( )2.ADBDACBC34916(2)AB25 cm，ADBD916，AD259(cm)，9916BD2516(cm)16916C
4、D12(cm).ADBD9 16与射影定理有关的证明问题例 2 如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，3DFAC，DGBE，F、G 分别为垂足求证：AFACBGBE.思路点拨 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论证明 CD 垂直平分AB，ACD 和BDE 均为直角三角形，且 ADBD.又DFAC，DGBE，AFACAD2，BGBEDB2.AD2DB2，AFACBGBE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明3
5、如图所示，设 CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高求证：CACDBCAD.证明：由射影定理知：CD2ADBD，CA2ADAB，BC2BDAB.CACDAD，AD2BDABBDABBCADAD.ABBD即 CACDBCAD.4RtABC 中有正方形 DEFG，点 D、G 分别在 AB、AC 上，E、F 在斜边 BC 上求证：EF2BEFC.证明：过点 A 作 AHBC 于 H.则 DEAHGF.4，.DEAHBEBHGFAHFCCH.DEGFAH2BEFCBHCH又AH2BHCH，DEGFBEFC.而 DEGFEF，EF2BEFC.对应学生用书 P15一、选择题1已知 RtABC 中，斜边
6、 AB5 cm，BC2 cm，D 为 AC 上一点，DEAB 交 AB于 E，且 AD3.2 cm，则 DE( )A1.24 cm B1.26 cmC1.28 cm D1.3 cm解析：如图，AA，RtADERtABC，ADABDEBCDE1.28.ADBCAB3.2 25答案：C2已知直角三角形中两直角边的比为 12，则它们在斜边上的射影比为( )A12 B21C14 D41解析：设直角三角形两直角边长分别为 1 和 2，则斜边长为，两直角边在斜边上5的射影分别为和.1545答案：C3一个直角三角形的一条直角边为 3 cm，斜边上的高为 2.4 cm，则这个直角三角形的面积为( )A7.2
7、cm2 B6 cm2C12 cm2 D24 cm2解析：长为 3 cm 的直角边在斜边上的射影为1.8(cm)，由射影定理知斜边322.425长为5(cm)，321.8三角形面积为 52.46(cm2)12答案：B4如图所示，在ABC 中，ACB90，CDAB，D 为垂足，若CD6 cm，ADDB12，则 AD 的值是( )A6 cm B3 cm2C18 cm D3 cm6解析：ADDB12，可设 ADt，DB2t.又CD2ADDB，36t2t，2t236，t3(cm)，即 AD3 cm.22答案：B二、填空题5若等腰直角三角形的一条直角边长为 1，则该三角形在直线 l 上的射影的最大值为_解
8、析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长答案：26如图所示，四边形 ABCD 是矩形，BEF90，这四个三角形能相似的是_解析：因为四边形 ABCD 为矩形，所以AD90.因为BEF90，所以1290.因为2390，所以13.所以ABEDEF.答案：7在ABC 中，A90，ADBC 于点 D，AD6，BD12，则CD_，AC_，AB2AC2_.解析：如图，AB2AD2BD2，又 AD6，BD12，AB6.5由射影定理可得，AB2BDBC，6BC15.AB2BDCDBCBD15123.由射影定理可得，AC2CDBC，AC3.3 1554.AB2AC2BDBCCDBCBDCD123答案：3 3
9、415三、解答题8如图：在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，DE 是 RtBCD 斜边 BC 上的高，若 BE6，CE2.求 AD 的长是多少解：因为在 RtBCD 中，DEBC，所以由射影定理可得：CD2CEBC，所以 CD216，因为 BD2BEBC，所以 BD4.6 83因为在 RtABC 中，ACB90，CDAB，所以由射影定理可得：CD2ADBD，所以 AD.CD2BD164 34 339如图，在ABC 中，CDAB 于 D，且 CD2ADBD，求证：ACB90.证明：CDAB，CDABDC90.又CD2ADBD，即 ADCDCDBD，ACDCBD.CADBCD.又ACD
10、CAD90，ACBACDBCDACDCAD90.710已知直角三角形周长为 48 cm，一锐角平分线分对边为 35 两部分(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长解：(1)如图，设 CD3x，BD5x，则 BC8x，过 D 作 DEAB，由题意可得，DE3x，BE4x，AEAC12x48.又 AEAC，AC246x，AB242x.(246x)2(8x)2(242x)2，解得：x10(舍去)，x22.AB20，AC12，BC16，三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作 CFAB 于 F 点，AC2AFAB.AF(cm)；AC2AB12220365同理：B
11、F(cm)BC2AB16220645两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.365645对应学生用书 P16近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系1.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形8EFCD 的面积比为_解析：由 CD2，AB4
12、，EF3，得 EF (CDAB)，12EF 是梯形 ABCD 的中位线，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有相同的高，设为 h，于是两梯形的面积比为(34)h (23)h75.1212答案：752.如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若AB3AD，则的值为_CEEO解析：连接 AC，BC，则ACB90.设 AD2，则 AB6，于是 BD4，OD1.如图，由射影定理得 CD2ADBD8，则 CD2.2在 RtOCD 中，DE.ODCDOC1 2 232 23则 CE ，DC2DE288983EOOCCE3 .8313因此 8.CEEO8
13、313答案：89对应学生用书 P16平行线分线段相关定理平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为 1 的特例例 1 如图，在ABC 中，DEBC，DHGC.求证：EGBH.证明 DEBC，.AEACADABDHGC，.AHACADAGAEABACADAHAG.EGBH.AEAHAGAB例 2 如图，直线 l 分别交ABC 的边 BC，CA，AB 于点 D，E，F，且AF AB，BD BC，试求
14、.1352ECAE解 作 CNAB 交 DF 于点 N，并作 EGAB 交 BC 于点 G，由平行截割定理，知，BFCNDBDCCNAFECAE两式相乘，得，BFCNCNAFDBDCECAE即.ECAEBFAFDCDB又由 AF AB，得2，13BFAF由 BD BC，得 ，52DCDB3510所以2 .ECAE3565相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角关系其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况例 3 如图所示，AD、CF 是ABC 的两条高线，在 AB 上取一点 P，使 APAD，再从 P 点引 BC 的平行线与 AC 交于点 Q.求证：PQCF.证明 AD、C
