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1、2017-2018 学年高中数学人教 A 版1阶段质量检测(二) (时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有一段“三段论” ，推理是这样的：对于可导函数 f(x)，如果 f(x0)0，那么xx0是函数 f(x)的极值点因为 f(x)x3在 x0 处的导数值 f(0)0，所以 x0 是函数f(x)x3的极值点以上推理中( )A小前提错误 B大前提错误C推理形式错误 D结论正确2观察按下列顺序排列的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第 n(nN*)个等式应为
2、( )A9(n1)n10n9B9(n1)n10n9C9n(n1)10n1D9(n1)(n1)10n103观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A B C D4由“正三角形的内切圆切于三边的中点” ，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A各正三角形内任一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点5观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10( )A28 B76 C123 D1996已知 c1，a，b，则正确的结论是( )c1ccc1Aab Ba2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，
3、假设应为_14已知圆的方程是 x2y2r2，则经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程为 x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1 类似的性质为_x2a2y2b215若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1，x2，xn，总满足 f(x1)1nf(x2)f(xn)f，称函数 f(x)为 D 上的凸函数；现已知 f(x)sin x 在(x1x2xnn)(0，)上是凸函数，则ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值是_16如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第 n2(n2)个图形中共有_个顶点三、解答题(本大题共 6 小
4、题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题 10 分)已知 abc，且 abc0，求证：.b2aca318(本小题 12 分)已知实数 x，且有 ax2 ，b2x，cx2x1，求证：12a，b，c 中至少有一个不小于 1.19(本小题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos
5、 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论20(本小题 12 分)已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若 ， 成等差数列1a1b1c2017-2018 学年高中数学人教 A 版4(1)比较与的大小，并证明你的结论；bacb(2)求证：角 B 不可能是钝角21已知数列an中，Sn是它的前 n 项和，并且 Sn14an2(n1,2，)，a11.(1)设 bnan12an(n1,2，)，求证：数列bn是等比数列；(2)设 cn(n1,2，)，求证：数列cn是等差数列an2n22通过计
6、算可得下列等式：2212211；3222221；4232231；(n1)2n22n1.将以上各式两边分别相加，得(n1)212(123n)n，即123n.nn12类比上述方法，请你求出 122232n2的值答案1解析：选 B 可导函数 f(x)，若 f(x0)0 且 x0两侧导数值相反，则 xx0是函数f(x)的极值点，故选 B.2解析：选 B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n1)n10n9.3解析：选 A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知 A 正确4解析：选 C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心5解析
7、：选 C 记 anbnf(n)，则 f(3)f(1)f(2)134，f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47; f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.2017-2018 学年高中数学人教 A 版5所以 a10b10123.6解析：选 B 要比较 a 与 b 的大小，由于 c1，所以 a0，b0，故只需比较 与 的大小即可，1a1b而 ，1a1c1 cc1c，1b1c c1cc1显然 ，从而必有
8、 ab.1a1b7解析：选 C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为 8，公差为 6 的等差数列，通项公式为 an6n2.8解析：选 D 该三角形每行所对应元素的个数分别为 1,3,5，那么第 10 行的最后一个数为 a100，第 11 行的第 12 个数为 a112，即 A(11,12)112.故选 D.(13)9解析：选 C f(xy)f(x)f(y)，令 xy1，得 f(2)2f(1)，令 x1，y2，f(3)f(1)f(2)3f(1)f(n)nf(1)，所以 f(1)f(2)
9、f(n)(12n)f(1)f(1)所以 A，D 正确nn12又 f(1)f(2)f(n)f(12n)f，所以 B 也正确故选 C.(nn12)10解析：选 B 当 n1 时，S11；当 n2 时，S2823；当 n3 时，S32733；归纳猜想 Snn3，故选 B.11解析：选 A b5b7b4b8b4(qq31q4)b4(q1)(1q3)b4(q1)2(1qq2)b4(q1)2.(q12)234bn0，q1，b4(q1)20，(q12)234b4b8b5b7.2017-2018 学年高中数学人教 A 版612解析：选 C a1 ，an11，121ana211，a312，1a11a2a41 ，
10、a511，1a3121a4a612，1a5an3kan(nN*，kN*)，a2 016a33671a32.13解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有” ，即“x，y 均不大于 1” ，亦即“x1 且 y1” 答案：x，y 均不大于 1(或者 x1 且 y1)14解析：圆的性质中，经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与 y 分别用 M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1 类似的性质为：过x2a2y2b2椭圆1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为1.x2a2y2b2x0xa2y0yb2答案：经过椭圆1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为1x2a2y2b
11、2x0xa2y0yb215解析：因为 f(x)sin x 在(0，)上是凸函数(小前提)，所以 (sin Asin Bsin C)sin(结论)，13ABC3即 sin Asin Bsin C3sin .33 32因此，sin Asin Bsin C 的最大值是.3 32答案：3 3216解析：设第 n 个图形中有 an个顶点，则 a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.答案：n2n17证明：因为 abc，且 abc0，所以 a0，c0.要证明原不等式成立，只需证明a，b2ac3即证 b2ac3a2，从而只需证明(ac)2ac3a2，2017-2018 学年高中数学
12、人教 A 版7即(ac)(2ac)0，因为 ac0,2acacaab0，所以(ac)(2ac)0 成立，故原不等式成立18证明：假设 a，b，c 都小于 1，即 a1，b1，c1，则 abc3.abc(2x)(x2x1)2x22x 223，且 x 为实数，(x212)72(x12)2233，(x12)即 abc3，这与 abc3 矛盾假设不成立，原命题成立a，b，c 中至少有一个不小于 1.19解：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151 sin 301 .121434(2)法一：三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) .34证明如
13、下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2sin cos sin2sin cos sin2 sin2 cos2 .3432143212343434法二：三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) .34证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )1cos 221cos6022 cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2121212123212 cos 2 cos 2sin 2sin 2 (1cos 2)121212143434142017-2018 学年高中数学人教 A 版81 cos 2 cos 2 .1414143420解：(1).bacb证明如下：要证，只需证 .bacbbacba，b，c0，只需证 b2ac. ， 成等差数列，1a1b1c 2，2b1a1c1acb2ac.又 a，b，c 均不相等，b2ac.故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角 B 是钝角，则 cos B0.由余弦定理得，cos B0，a2c2b22ac2acb22acacb22ac这
