《2017-2018学年高中数学人教a版选修1-2创新应用教学案：第二章2.2直接证明与间接证明含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教a版选修1-2创新应用教学案：第二章2.2直接证明与间接证明含答案（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案1第 1 课时 综合法和分析法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P36P41的内容，回答下列问题(1)阅读教材 P36“已知 a，b0，求证 a(b2c2)b(c2a2)4abc”的证明过程，思考下列问题：该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a，b0；结论：a(b2c2)b(c2a2)4abc.本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件 a，b0 出发，借助基本不等式证明待证结论的(2)阅读教材中证明基本不等式“(a0，b0)”的过程，
2、回答下列问题：ab2ab该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的该证明过程是综合法吗？提示：不是该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件2归纳总结，核心必记(1)综合法综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法的框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)(2)分析法2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案2分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条
3、件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法分析法的框图表示QP1P1P2P2P3得到一个明显 成立的条件问题思考(1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” (2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因(3)已知 a，b，c 为正实数，且 abc1，求证：8.(1a1)(1
4、b1)(1c1)证明过程如下：a，b，c 为正实数，且 abc1. 10， 10， 10，1abca1bacb1cabc8，(1a1)(1b1)(1c1)bcaacbabc2 bc2 ac2 ababc当且仅当 abc 时取等号，不等式成立这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法课前反思(1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？.2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案3讲一讲1设 a，b，c 均为正数，且 abc1.证明：(1)abbcac ；13(2)1.a2bb2cc2a尝试解答 (1)由 a2b
5、22ab，b2c2 2bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca .13(2)因为b2a，c2b，a2c，a2bb2cc2a故(abc)2(abc)，a2bb2cc2a即abc.a2bb2cc2a所以1.a2bb2cc2a利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案4(2)转化条件组
6、织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取练一练1已知 xyzm.求证：x2y2z2.m23证明：xyzm，(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)m2.又x2y22xy，y2z22yz，z2x22xz，2(x2y2z2)2(xyyzzx)，即 x2y2z2xyyzzx，m2x2y2z22(xyyzzx)3(x2y2z2)x2y2z2.m23思考 1 分析法的证明过程是什么？名
7、师指津：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件思考 2 分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是：“要证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立 ”其中的关联词语不能省略讲一讲2已知 a0，求证： a 2.a21a221a2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案5尝试解答 要证 a 2.a21a221a只需证 2a .a21a21a2因为 a0，故只需证22，(a21a22)(a1a 2)即 a244a2222，1a2a21a21a22(a1a)从而只需证 2，a21a22(
8、a1a)只需证 42，(a21a2) (a221a2)即 a22，而上述不等式显然成立，1a2故原不等式成立(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法(3)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立练一练2当 a2 时，求证：abc.ab2bc2ac2由基本不等式得0，0，ab2abbc2bc0，ac2ac又a，b，c 是不全相等的正数，abc.ab2bc2ac2a2b2c2即abc 成立ab2
9、bc2ac2logxlogxlogx0 Bab0 且 abCab1)，证明方程 f(x)0 没有负实根x2x1尝试解答 假设方程 f(x)0 有负实根 x0，则 x0180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案：2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案203等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11，S393.22(1)求数列an的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列Snn解：(1)设
10、公差为 d，由已知得Error!解得 d2，故 an2n1， Snn(n)22(2)证明：由(1)得 bnn.Snn2假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等)成等比数列，则 b bpbr，2 q即(q)2(p)(r)，222所以(q2pr)(2qpr)0.2又 p，q，rN*，所以Error!所以2pr.(pr2)(pr)20，所以 pr，这与 pr 矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列题组 2 用反证法证明“至多” 、 “至少”型命题4用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是( )A假设三内角都不大于 60B假设三内角
11、都大于 60C假设三内角至少有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60解析：选 B “至少有一个”即“全部中最少有一个” 5设实数 a、b、c 满足 abc1，则 a、b、c 中至少有一个数不小于_解析：假设 a、b、c 都小于 ，13则 abc1 与 abc1 矛盾故 a、b、c 中至少有一个不小于 .13答案：136若 x0，y0，且 xy2，求证：与中至少有一个小于 2.1xy1yx2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案21解：假设与都不小于 2，1xy1yx即2，2.1xy1yx又x0，y0，1x2y,1y2x.两式相加得 2xy2(xy)，即
12、xy2.这与已知 xy2 矛盾所以假设不成立，所以与中至少有一个小于 2.1xy1yx题组 3 用反证法证明“唯一性”命题7用反证法证明命题“关于 x 的方程 axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程 axb(a0)( )A无解 B有两解C至少有两解 D无解或至少有两解解析：选 D “唯一”的否定上“至少两解或无解” 8 “自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )Aa，b，c 都是奇数Ba，b，c 都是偶数Ca，b，c 中至少有两个偶数Da，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选 D 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个
13、奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数所以否定正确的是 a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数9求证：两条相交直线有且只有一个交点证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线 a，b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和 B，这样同时经过点 A，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点能力提升综合练1用反证法证明命题“a，bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 52017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 1-2 创新应用教学案22整除” ，则假设的内容是(
14、 )Aa，b 都能被 5 整除 Ba，b 都不能被 5 整除Ca 不能被 5 整除 Da，b 有 1 个不能被 5 整除解析：选 B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” ，故 B 正确2有以下结论：已知 p3q32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设 pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的3设 a、b、c 都是正数，则三个数 a ，b ，c ( )1b1c1aA都大于 2 B至少有一个大于 2C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2解析：选 D 因为 a、b、c 都是正数，则有(a1b) (b1c) (c1a) (a1a) (b1b)6.故三个数中至少有一个不小于 2.(c1c)4已知数列an，bn的通项公式分别为 anan2，bnbn1(a，b 是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个解析：选 A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n 使得 anbn，由题意 ab，nN*，则恒有 anbn，从而 an2bn1 恒成立，不存在 n 使得 anbn.5
