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1、物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING1 含时微扰理论 2 量子跃迁几率 3 光的发射和吸收1 含时微扰理论 2 量子跃迁几率 3 光的发射和吸收第八章含时微扰论(量子跃迁)第八章含时微扰论(量子跃迁)物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING1 含时微扰理论1 含时微扰理论(一) 引言(一) 引言（二）含时微扰理论（二）含时微扰理论物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING(一) 引言定
2、态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定态 Schrodinger 方程。(一) 引言定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定态 Schrodinger 方程。本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰，即：本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰，即：)()(0tHHtH+=+=因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方 程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微
3、扰法在此又不适用， 这就需要发展与时间有关的微扰理论。因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方 程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用， 这就需要发展与时间有关的微扰理论。含时微扰理论可以含时微扰理论可以通过 H通过 H0 0 的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函 数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量 子态的跃迁几率。的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函 数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量 子态的跃迁几率。物 理 工 程 学 院物 理
4、工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING=)(tHtihnnnH= =0假定 H假定 H0 0 的本征函数 的本征函数 n n 满足：满足：H H0 0 的定态波函数为：的定态波函数为：n n= = n nexp-iexp-in nt/h 满足含时 S - 方程:t/h 满足含时 S - 方程:nnHti= 0h定态波函数 定态波函数 n n 构成正交完备系，构成正交完备系，整个体系的波函数 可按 整个体系的波函数 可按 n n 展开：展开：nn nta= )(nn nnn ntatHtati=)()()(hnn nnn nnn nnn n tHtaHt
5、attaitadtdi+=+ +=+ )()()()()(0hh因 H因 H(t)不含对时间 的偏导数算符,故可 与 a(t)不含对时间 的偏导数算符,故可 与 an n(t) 对易。(t) 对易。nnHti= 0hnn nnn ntHtatadtdi= = )()()(h（二）含时微扰理论（二）含时微扰理论物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERINGnn nnn ntHtatadtdi= = )()()(h以以m* m* 左乘上式后 对全空间积分左乘上式后 对全空间积分dtHtadtadtdinmn nnmn n= = )()
6、()(*hdetHtatadtditi nmn nmnn nnmhh/*)()()( = = ti mnn nmmneHtatadtdi = )()(h= 频率微扰矩阵元其中BohrdtHHnmmnnmmn1)(*h该式是通过展开式改写而成的 Schrodinger方程的另 一种形式。仍是严格的。该式是通过展开式改写而成的 Schrodinger方程的另 一种形式。仍是严格的。nn nta= )(物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING求解方法同定态微扰论中使用的方法：求解方法同定态微扰论中使用的方法：（1）引进一个小参量，
7、用 H 代替 H（在最后结果中再令 = 1）；（1）引进一个小参量，用 H 代替 H（在最后结果中再令 = 1）；（2）将 a（2）将 an n(t) 展开成下列幂级数；(t) 展开成下列幂级数；L+=+=)2(2)1()0( nnnnaaaa（3）代入上式并按幂次分类；（3）代入上式并按幂次分类；ti mnnnn nti mnnnn nmmmmnmneHaaaeHaaadtdadtdadtdai+=+= +=+= +)2(3)1(2)0()2(2)1()0()2( 2)1()0(LLLh=LLLLLLLLhhti mnn nmti mnn nmmmnmneHadtdaieHadtdaidtd
8、a0)1()2()0()1()0( (4) 解这组方程，我们可得到关于a(4) 解这组方程，我们可得到关于an n 的各级近似解，从而得到波函数 的近似解。实际上，大多数情况下，只 求一级近似就足够了。的各级近似解，从而得到波函数 的近似解。实际上，大多数情况下，只 求一级近似就足够了。（最后令 = 1，即用 H（最后令 = 1，即用 Hmnmn代替代替HHmnmn，用a，用am(1)m(1)代替 a代替 am(1)m(1)。）。）零级近似波函数 a零级近似波函数 am(0)m(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
9、物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING假定t 0 时，体系处于 H假定t 0 时，体系处于 H0 0 的第 k 个本征态 的第 k 个本征态 k k。而且由于 exp-i。而且由于 exp-in nt/h|t/h|t=0t=0= 1，于是有：= 1，于是有：nnn nnn nnn nkaaaa)0()0()0()0()0()1()0(L+=比较等式两边，得比较等式两边，得L+=+=)0()0()1()0( nnnkaa比较等号两边同 幂次项，得：比较等号两边同 幂次项，得：0)0()0()0()2()1()0(=Lnnnk
10、n aaa 零级近似：零级近似：因 a因 an(0)n(0)不随时间变化，所以 a不随时间变化，所以 an(0)n(0)(t) = a(t) = an(0)n(0)(0) = (0) = nknk。一级近似：一级近似：ti mnn nmmneHadtdai = )0()1( hti mkti mnnk nmmkmneHieHidtda=11)1(hhdteHiatti mktmmk=10)1( h积分得：对t 0 后加入微扰，t 0 后加入微扰，物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING2 量子跃迁几率2 量子跃迁几率（一）跃
11、迁几率（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰（二）一阶常微扰 （三）简谐微扰（三）简谐微扰 （四）实例（四）实例 （五）能量和时间测不准关系（五）能量和时间测不准关系物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERINGmm mta= )(t时刻发现体系处于 t时刻发现体系处于 m m态的几率等于 |a态的几率等于 |am m(t)|(t)|2 2LhL+=+=+=+= dteHitatatati mkt mkmmmmk 0)1()0(1)()()(a am(0)m(0)(t)= (t)= mkmk末态不等于初态时 末态不等于初态时 mkmk=
12、 0，则= 0，则L+=+=)()()1(tatamm所以体系在微扰作用下由初态 所以体系在微扰作用下由初态 k k 跃迁到末态跃迁到末态m m 的几率在一级近似下为：的几率在一级近似下为：202)1(1| )(|dteHitaWti mkt mmkmk = h（一）跃迁几率（一）跃迁几率物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING1、含时 Hamilton 量1、含时 Hamilton 量设 H在 0 t t设 H在 0 t t1 1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：这段时间之内不为零，但与时间无关，即：+=+=m m
13、时，跃迁速率可写为：时，跃迁速率可写为：)(|22hh+=+=kmmkmkF也就是说，仅当 也就是说，仅当 m m=k k - -h h 时跃迁几率才不为零，此时发射能量为 时跃迁几率才不为零，此时发射能量为h h 的光子。 的光子。（3）当（3）当k k 0 时，附加一与 振子振动方向相同的恒定外电场例1. 设 t=0 时，电荷为 e 的线性谐振子处于基态。在 t 0 时，附加一与 振子振动方向相同的恒定外电场 ，求谐振子处在任意态的几率。，求谐振子处在任意态的几率。解：解：xeH=dteHitati mkt mmk = 0)1(1)(hdtexieti mkt mk = 0ht=0 时，
14、振子处 于基态， 即 k=0。t=0 时， 振子处 于基态， 即 k=0。tmtimie iem0010211 = = h 1201 0=ti m mmee h式中式中 m,1 m,1 符号表明，只有 当 m=1 时，a符号表明，只有 当 m=1 时，am(1)m(1)(t)0，(t)0，dteietit mm0 01211 =h11*0* 0211)(211)()()(mmmmdxxxdxxxxx= dtexieti mt m 0 00 =h（四）实例（四）实例物 理 工 程 学 院物 理 工 程 学 院SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING2102)1( 110)1(210=tieeaW h所以
