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1、D det(aij) 1a2 a1 ap1 1 2 2 q pn n qa1 ap1 2 p 2apnn上页下页结束返回首页第 一 章行 列 式一n阶行列式的定义a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annt p1p2pn a1p1 2 p npn p1p2pntq apt1a上页下页结束返回首页二行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等,即|D|=|DT|;性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号;推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式为零.上页下页结束返回首页性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式
2、.an2 annan1kai1a11 a12 a1n an2 annan1ai2 aina11 a12 a1n kai2 kain k ai1推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面 a21a2n a21 上页下页结束返回首页性质 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零a12 a22 an2a11 a21 an1 (a1i a1 i) a1n (a2i a 2i) a2n (ani ani ) ann性质5D a11 an1 a1i a1n a11 a2i ani ann an1 a1i a1n a2i a2n ani ann上页下页结束返回首页性质
3、 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变行列式按行（列）展开已知矩阵 A (aij);则n0 , 当 i j;n A a A 上页下页结束返回首页三克拉默法则如果线性方程组(1)a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn的系数行列式不等于零，即a21 a22 a2n an2 annan1a12 a1na11D 0上页下页结束返回首页其中Dj是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即bnb1an,j1annan1an,j1
4、a1,j1a1na11a1,j1Dj .Dn D,xn D2 D, x3 D2 D, x2 D1 Dx1 那么线性方程组1有解，并且解是唯一的，解 可以表为上页下页结束返回首页定理4 如果线性方程组1 的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .定理4 如果线性方程组1无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.定理5 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(3)没有非零解.定理5 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系 数行列式必为零.上页下页结束返回首页计算（证明）行列式 用定义计算（证明）2 用数学归纳法3 用行列式的性质4 利用范德蒙行列式
5、上页下页结束返回首页21页例题32151 121 0 53 1 3 4 1 3, D的（i , j）元的余子式和代 数余子式记为Mij与Aij，求:设 D 1 1 121 1 14 1 3解：(1) A11 A12 A13 A14(1)A11 A12 A13 A14(2)M11 M21 M31 M411 0 5 r4 r33 1 3 r3 r151 11 00 2 r上页下页结束返回首页1 1 1 1 2 2 1 11 1 0 5 (1)13 2 2 2 4.1 0 0(2) M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A411 5 2 11 1 0 51 3 1 3 1 4 1
6、311 5 2r4 3 1 1 0 51 3 1 3 0 1 0 0 0r4 r3r3 r1说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。上页下页结束返回首页a3a2a1xa2 a2a1 xx a1a4 x a3 an.a3 an a3 an an 0010 001111a3 a2a1D 10 ，其中 a1a2an 0 爪型行列式(1) Dn1 a1 a2(2)上页下页结束返回首页第二章 矩阵及其运算1 矩阵的概念 几种特殊矩阵：零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、 对称阵、行（列）向量、正交矩阵、正定矩阵等。 2 矩阵的运算矩阵的数乘运算矩阵的乘法运算第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
7、不满足交换律与消去律 A11A An1 上页下页结束返回首页 An2 Ann A12 A1nA21 A22 A2n称为方阵A的 伴随矩阵。 | A | A|n1行列式 A 随矩阵方阵的伴 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵上页下页结束返回首页 矩阵的逆运算 矩阵可逆的几个充要条件n阶方阵 A 可逆 n阶方阵 B，使得AB BA En n阶方阵B，使得 ABEn(或BAEn) | A| 0求逆矩阵的方法1若A可逆,则A 亦可逆,且A上页下页结束返回首页 A.1 111 1 3若A,B为同阶方阵且均可逆 ,则AB亦可逆 ,且 1 1 1X A BX BAX A CB上页下页结束返回首页
8、解1111矩阵方程AX BXA BAXBC矩阵乘法的逆运算上页下页结束返回首页3 矩阵分块法 矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证分块原则，取决于进行的运算同时兼顾矩阵结构特点. 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似上页下页结束返回首页第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组 一、初等变换 与初等矩阵 二、矩阵的秩及其相关性质 三、线性方程组的解的判定定理 n元非齐次线性方程组 Ax b (1)无解 RA R(A,b);(2)有唯一解 RA R(A,b) n;(3)有无穷多解 RA R(A,b) n. n元齐次线性方程组 Ax 0RA n Ax 0只有零解;RA n Ax 0有非零解
9、 .上页下页结束返回首页一、求矩阵的秩二、求解线性方程组(含参数)三、求逆矩阵的初等变换 法四、解矩阵方程的初等变换 法典型 例 题上页下页结束返回首页第四章 向量组的线性相关性向量组线 性相关的充要条件（判定定理）给定向量组 A:1,2,m,则1,2,m线性相关的 充要条件为(一) 存在不全为零的数 k1,k2,km 使k1 1 k22 kmm o(二) 齐次线性方程组(1,2,m)x o 有非零解，即 R (1,2,m) m(三) 向量组 1,2,m (m 2)中至少有一个向量可以 被 其它m 1个向量线性表示上页下页结束返回首页(二)齐次线性方程组(1,2,m)x o 只有零解，即 R
10、(1,2,m) m(三)向量组 1,2,m (m 2)中任何一个向量都不可 以被 其它向量线性表示。因而线性无关也称作线性独立1k11 k22 kmm o k22 kmm o，则必有 k1 k2 km 0向量组线 性无关的充要条件（判定定理） 给定向量组 A:1,2,m,则1,2,m线性无关的 充要条件为(一) 对于任意一组不全为零的数 k1,k2,km 都有 若 k1上页下页结束返回首页性质(1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .(2)若向量组 A：1,2,m 线性相关,则向量组B :1,m,m1 也线性相关.反言之,若向量组 B 线性无关,则向量组A也线性无关 .（3 ）m个n维向
11、量组成的向量组，当维数 n小于向量 个数 m 时一定线性相关 。特别的 n1个 n 维向量必线性相关。(4)设向量组A:1,2,m线性无关,而B :1,m,b 线性相关,则向量 b必能由向量组A线性表示,且表示式 是唯一的.上页下页结束返回首页最大线性无关向量组设有向量组A，如果在A中能选出r 个向量1,2,r， 满足 (1)向量组 A0 :1,2,r 线性无关； (2)向量组 A中任意 r 1个向量（如果 A中有 r 1个向量的话）都线性相 关.那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关 向量组 （简称最大无关组） ;最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A的秩，记作RA。 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。上页下页结束返回首页最大无关组的等价定义设向量组 A0 :1,2,r 是向量组 A的一个部分组， 且满足(1)向量组 A0 :1,2,r 线性无关; (2)向量组 A的任一向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么向量组 A0 是向量组 A的一个最大无关组。上页下页结束返回首页齐次线性方程组解的结构把齐次线性方程组 Ax o的全体解向量所组成的 集合记作 S ，并设 S0 :1,2,t 为 S
