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1、上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分四、全微分在近似计算中的应用上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分一、偏导数1、偏导数的定义上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数如函数 在点 处 上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分例1 求解法1解法2在点(1 , 2)处的偏导数.上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分例2 设证例3 求的偏导数 .解求证:上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分偏导数记号是一个例4
2、 已知理想气体的状态方程求证:证说明 :(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分2.偏导数的几何意义如图上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分（1）几何意义:上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分（2）偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，上页下页返回则称它们是z = f (x , y)5.2 二元函数的偏导数与全微分 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，的二
3、阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分类似可以定义更高阶的偏导数.例如， z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为z = f (x , y)关于x的 n 1 阶偏导数 , 再关于y 的一阶偏导数为第二、三个偏导数称为混合偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分解上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分例6 求函数解 注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题例如, 对三元函数u =
4、f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分证上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分例8 证明函数满足证利用对称性,有方程上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分三、全微分全增量上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分定义2 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y )可表示成其中A , B不依赖于 x , y ,仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微 ,则称函数f ( x, y )在点( x, y) 可微，的全增量则称
5、此函数在D 内可微.上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分证“可微”与“连续”的关系？上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分“可微”与“偏导数存在”的关系？上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分同样可证证 由全增量公式得到对x 的偏增量因此有 上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分反例: 函数易知 但注: 定理3 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !因此,函数在点 不可微 .上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分定理4 (可微的充分条件 )若函数的偏导数则函数在点连续，在该点可微 . 且全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.例如, 三元函数的全微分为
6、：上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分例9 计算函数 在点(2,1)处的全微分. 解例10 计算函数的全微分. 解 上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分可知当*四、全微分在数值计算中的应用近似计算:由全微分定义较小时 ,及有近似等式 :(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分例11 计算的近似值. 解 设,则取则上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分半径由 20cm 增大解 已知即受压后圆柱体体积减少了 例12 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导 （相等的条件）内容小结上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分思考练习,则（ ）(A)(C)(B) 曲面 在点 的法向量为曲线 在点 的切向量为设函数在点 附近有定义，且上页下页返回5.2 二元函数的偏导数与全微分思考练习(D) 曲线 在点 的切向量为答案（C）
