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1、第2章 逻辑函数及其化简2.1 基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路2.2 逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式2.3 逻辑函数的代数变换和化简2.4 逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法2.5 用卡诺图化简逻辑函数 2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路 三种基本的逻辑运算(所有运算均由三种基本运算组合而成) 与运算 或运算 反运算（非运算） 几种常用逻辑运算 逻辑函数的表示方法 逻辑运算:当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。逻辑运算与算术运算完全不同，它所使用的数学工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数与普通代数:与普通代数不同,逻辑代数中的变量只有0
2、和1两个可取值，它们分别用来表示两个完全对立的逻辑状态。与运算灯电源S1S2S1S2灯断开 断开 不亮断开 接通 不亮接通 断开 不亮接通 接通亮状态表用逻辑语言来描述：开关的状态用逻辑变量A、B表达灯的状态用逻辑变量L来表达开关接通用逻辑1表示开关断开用逻辑0表示灯亮用逻辑1表示灯灭用逻辑0表示真值表ABL000010100111与运算逻辑符号逻辑表达式波形图真值表111001010000L=ABBAL=ABAB灭-0确定变量、函数，并赋值开关: 变量 A、B 灯 : 函数 L逻辑真值表ABL001 100 010 111逻辑真值表ABL001 100 010 111控制楼梯照明灯电路（续）
3、逻辑表达式：逻辑图：真值表ABL001100010111用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。控制楼梯照明灯电路（续）2.2 逻辑代数的基本定律和恒等式 0-1定律 交换律： 分配律： 反演律（摩根定理）： 吸收律： 其它常用恒等式： 结合律： 异或和同或的性质*逻辑代数的基本规则 代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现 的某变量A，都用一个函数代替，该等式依然成立，这个规 则称为代入规则。 反演规则：源于摩根律，要完成3个变换，用于求反函数。 运算符的变换： 变量的变换： 常量的变换：逻辑代数的基本规则例2：，求在应用反演规则求反函数时要注意以
4、下两点： (1)保持运算的优先顺序不变(先括号，再与，最后或)，必要 时加括号表明。 (2)对于反变量以外的非号（即非号包含两个以上的变量时） 保持不变。 例1：，求逻辑代数的基本规则 对偶规则：某个逻辑恒等式成立时，其对偶式也恒成立。在一个逻辑函数式L中，实行运算符互换，常量 “0”“1”互换，得到的新逻辑式记为L，则称L为L的 对偶式。（注意不实行变量的互换。）例如吸收律：成立，则其对偶式：也成立。例如0-1律：成立，则其对偶式：也成立。0-1律 变量与常量的关系 与逻辑： 或逻辑： 变量与自身的关系 与逻辑： 或逻辑： 还原律吸收律 吸收律： 其它常用恒等式：(证明)异或和同或的性质异或
5、和同或的其他性质:A 0=A A 1=A A A=0 A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB ACA 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)对奇数个变量而言，有 A1A2. An=A1 A2 . An对偶数个变量而言，有 A1A2. An=A1 A2 . An运算定律的证明方法 列真值表的方法：无局限，但烦琐，适用于变量较少的时候1110111101110000BA证明吸收律 公式法：灵活、简洁，对技巧的要求比较高基本定律分 配 律结合律分配律基本定律 逻辑函数的代数变换2.3 逻辑函数的代数变换和化简 逻辑
6、函数为什么需要做代数化简？ 逻辑函数代数化简的常用方法 并项法 吸收法 配项法 代数化简练习逻辑函数的代数变换 逻辑函数为什么需要做代数变换 逻辑函数的几种常见形式与-或、或-与、与非-与非、或非-或非、与-或-非、或-与-非 逻辑函数的最简与-或表达式 最简与-或式的特点：与项（乘积项）的个数最少每个乘积项中变量的个数最少逻辑函数为什么需要做代数变换A B&AB11&L A B &同一函数不同形式的最简表达式与-或式或-与式与非-与非式或非-或非式与-或-非式或-与-非式代数变换的方法两次取反，用反演规则（摩根律）与-或式与非-与非式或-与-非式或-与式或非-或非式与-或-非式 与-或式 与
7、非-与非式 或-与-非 或-与式 或非-或非式 与-或-非并项法化简例题1并项法化简例题2并项法化简例题3并项法化简例题4吸收法例题1吸收法例题2吸收法例题3吸收法例题4吸收法例题5吸收法例题6配项消去法例题1配项消去法例题2配项消去法例题3*配项消去法例题4配项消去法例题5 逻辑函数的化简结果不是唯一的。 代数化简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公 式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需 要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否 最简。配项消去法例题5化简下列逻辑函数2.4 逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法 逻辑函数的标准形式 最小项表达式
8、 最大项表达式 最大项与最小项的关系 用卡诺图表示逻辑函数 卡诺图（Karnaugh Map）框架的特征 逻辑函数的卡诺图表示法最大项的定义 定义：n个变量 的最小项，是n个因子的 逻辑乘（相与），每一个变量都以它的原变量 或反变 量 的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，如有A、 B两个变量时，最小项为 最大项的定义：n个变量 的最大项，是n 个因子的逻辑和（相或），每一个变量都以它的原变 量 或反变量 的形式在或项中出现，且仅出现一次 ，如有A、B两个变量时，最大项为编号ABC最小项最大项00001001201030114100510161107111最大项编号最小项：与项，原变量用1表示，
9、反变量用0表示。 最大项：或项，原变量用0表示，反变量用1表示。0111111111110111111011110111111011110111100111110111110111110110101111110110011111110000CBA最大项(1)对于任何一个最大项，只有一组输入变量的取值使它的值为0 ，而在取其他各组值时，这个最大项的值为1。(4)若干个最大项之积等于其余最大项之积取反。(2)对于输入变量的任何一组取值，任何两个最大项的和为1。(3)对于输入变量的任何一组取值，所有最大项的积为0。L(A,B,C,D)=(0010,0110,1101,1010)=0，则L的最大项为：
10、则：注意:在最大项中，使L=0的输入变量取值为1时，用反变量表示, 取值为0时，用原变量表示，例如:用最大项表示逻辑函数的方法任何一个逻辑函数，都可以用其最大项之积表示，而且这种表 示是唯一的。将真值表中使L=0的输入变量每一组组合状态用 最大项表示，然后将这些最大项相与即为逻辑函数L的表达式。逻辑函数的最大项表达式逻辑函数的最小项表达式 定义：n个变量 的最小项，是n个因子的 逻辑乘（相与），每一个变量都以它的原变量 或反变 量 的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则该与项 称为最小项。n个变量的最小项应有2n个。 下面的与项则不是三变量逻辑函数的最小项： 如三个变量A、B、C的最小项有8项
11、，分别为最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为 最小项号。 最小项的编号编号ABC最小项00001001201030114100510161107111ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001(1)对于任何一个最小项，只有一组输入变量的取值使它的值为1 ，而在取其他各组值时，这个最小项的值为0。(4)若干最小项之和等于其余最小项之和取反。(2)对于输入变量的任何一组取值，任何两个最小项的积为0。(3)对于输入变量的任何一组取值，所有
12、最小项的和为1。最小项的性质逻辑函数的最小项表达式 任一逻辑函数均可由最小项之和的形式来表示，称为最 小项表达式。 最小项表达式是与-或形式 每个乘积项是真值表中函数值为1时,输入变量所对应的 最小项 和真值表一样,具有唯一性111110011001例：将 化成最小项表达式 逻辑函数的最小项表达式根据摩根定理： 四变量的最小项最大项与最小项的关系 函数最大项表达式与最小项表达的关系：是一种互为反函 数关系，但根据最大项编号原则与最小项编号原则括号内的 编号却是一致的。例：则最小项表达式的反函数为：最大项与最小项的关系例：将 化成最小项表达式 解1：例：将 化成最小项表达式 解2： n变量的卡诺
13、图有 个小方格 卡诺图中每个小方格都和一个最小（大）项对应，其编号 是一组n位二进制代码 最小项排列规律：几何相邻的必然逻辑相邻，即满足循环 邻接的特性逻辑相邻：两个最小（大）项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小（大）项可以合并。几何相邻：相邻紧挨的；相对任一行或一列的 两头；相重对折起来后位置相重。任意n变量最小项，必定和其它n个不同的最小项相邻。 相邻两个方格对应的最小项相或（最大项相与），可以消 去唯一变化的变量，达到化简的结果。卡诺图框架的特征卡诺图的表示方法两变量卡诺图AB1010L三变量卡诺图CAB0100011110BC AL四变量卡诺图ACDBm0 m1
14、m2 m3m4 m5 m6 m7m12 m13 m14 m15m8 m9 m10 m1100011110 00 011110ABCDL例：三变量卡诺图ABC0100011110 ABCm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm7相邻性规则m1 m3 m2m7相邻性规则m2 m0 m1 （对称）m4循环码已知真值表填卡诺图（1）根据真值表填卡诺图真值表的每一行即代表一个最小项。输出为1的行，其最小项 对应方格填1；输出为0的行，其最小项对应方格填0或不填。 ABCL 0000 0011 0101 0110 1000 1011 1101 1111最小项m0m7的值分别
15、为：0 、1、1、0、0、1、1、1，则相应的卡诺图为：0100011110BC AL00101111已知表达式填卡诺图（2）根据逻辑表达式填卡诺图逻辑函数先化成最小项表达式；再根据变量的个数确定卡诺 图方格的个数，将表达式中出现的最小项对应的方格填入逻 辑1，其余都填0或不填。0100011110BC AL例如：我们已经知道则相应的卡诺图为：00110011直接填卡诺图（3）直接填卡诺图0100011110BC AL相应的卡诺图为：00110011CAB 卡诺图化简的依据 卡诺图化简的步骤 已经用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简 未用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简 具有无关项逻辑函数的卡诺图化简2.5 用卡诺图化简的逻辑函数化简的依据2个相邻最小项合并为一个与项，可以消除1个变量。注意： 2个方格的“包围圈”必须排列成长方形，同在一列或同在 一行。化简的依据4个相邻最小项合并为一个与项，可以消除2个变量。注意： 4个方格的“包围圈”必须排列成方形格或矩形格的形状， 同在一列或同在一行或同在一个田字
