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1、第4章 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数 研究性质 数值计算数项级数幂级数Fourier级数函数项级数(傅里叶级数或傅氏级数)Date1南京航空航天大学 理学院 数学系傅里叶 (Fourier, 1768 1830)法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. Date2南京航空航天大学 理学院 数学系第4章 无穷级数第
2、1节 常数项级数第2节 函数项级数第3节 幂级数第4节 Fourier级数Date3南京航空航天大学 理学院 数学系讨论另一类特殊重要的函数项级数：研究: 怎样将一个函数用三角级数表示？第4节 Fourier级数由三角函数组成的函数项级数-三角级数即 如何将一个函数展成三角级数？Date4南京航空航天大学 理学院 数学系第4节 Fourier级数4.1 周期函数与三角级数4.2 三角函数系的正交性与Fourier级数4.3 周期函数的Fourier展开4.4 0, l上函数的Fourier级数4.5 Fourier级数的复数形式Date5南京航空航天大学 理学院 数学系4.1 周期函数与三角级
3、数简单的周期运动为简谐振动：复杂的周期运动常分解成若干不同频率的简谐振动 的叠加,即y=Asin(t+)(谐波迭加)三角级数Date6南京航空航天大学 理学院 数学系矩形波不同频率正弦波逐个叠加是非正弦周期函数:Date7南京航空航天大学 理学院 数学系Date8南京航空航天大学 理学院 数学系Date9南京航空航天大学 理学院 数学系Date10南京航空航天大学 理学院 数学系Date11南京航空航天大学 理学院 数学系Date12南京航空航天大学 理学院 数学系定义基本问题：1 f(x) 满足什么条件时，才能展开为三角级数？2 如果 f(x) 能展开为三角级数，展开式中 的系数如何确定？
4、Date13南京航空航天大学 理学院 数学系4.2 三角函数系的正交性与Fourier级数复习:Date14南京航空航天大学 理学院 数学系Date15南京航空航天大学 理学院 数学系1.三角函数系的正交性三角函数系正交：正交函数系See P313Date16南京航空航天大学 理学院 数学系2.傅里叶级数Date17南京航空航天大学 理学院 数学系同理Date18南京航空航天大学 理学院 数学系Date19南京航空航天大学 理学院 数学系4.3 周期函数的Fourier展开1 以2p为周期的Fourier级数2 正弦级数和余弦级数3 以2L为周期的Fourier级数考虑如下问题:Date20南
5、京航空航天大学 理学院 数学系狄利克雷(Dirichlet) 定理称为Dirichlet 条件（或狄氏 条件）1 以2p为周期的Fourier级数Date21南京航空航天大学 理学院 数学系注意:1. 函数展开成傅里叶级数的条件比展开 成幂级数的条件低的多. 2. 狄利克雷(Dirichlet) 定理的另一种形式 狄利克雷(Dirichlet) 定理Date22南京航空航天大学 理学院 数学系在x=0,x=p/2,x=-p/3和x=-p处分别收敛于什么？Date23南京航空航天大学 理学院 数学系Date24南京航空航天大学 理学院 数学系例2解Date25南京航空航天大学 理学院 数学系和函
6、数S(x)图象为函数f(x)图象为Date26南京航空航天大学 理学院 数学系Date27南京航空航天大学 理学院 数学系Date28南京航空航天大学 理学院 数学系注意: 对于非周期函数,如果函数 只在 区间 上有定义,并且满足狄氏充 分条件,也可展开成傅氏级数.作法:Date29南京航空航天大学 理学院 数学系解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在收敛于 .Date30南京航空航天大学 理学院 数学系Date31南京航空航天大学 理学院 数学系所求函数的傅氏展开式为Date32南京航空航天大学 理学院 数学系利用傅氏展开式求级数的和Date33南京航空航天大学
7、理学院 数学系Date34南京航空航天大学 理学院 数学系2 正弦级数和余弦级数 注意到奇函数和偶函数在对称区间积分的性 质，可以得到下面的结论Date35南京航空航天大学 理学院 数学系定义Date36南京航空航天大学 理学院 数学系解所给函数满足狄利克雷充分条件.Date37南京航空航天大学 理学院 数学系和函数图象Date38南京航空航天大学 理学院 数学系Date39南京航空航天大学 理学院 数学系观 察 两 函 数 图 形Date40南京航空航天大学 理学院 数学系3 以2l为周期的Fourier级数 设f (x)是T=2l的函数，并且在-l,l满足Dirichlet条件，求f (x
8、)的Fourier展开式。方法：变量代换Date41南京航空航天大学 理学院 数学系Date42南京航空航天大学 理学院 数学系定理 设f (x)是T=2l的函数，并且在-l,l满足Dirichlet 条件， 则f (x)的Fourier展开式为其中Date43南京航空航天大学 理学院 数学系则有则有Date44南京航空航天大学 理学院 数学系例5 设 f (x) 是周期为4 的周期函数,它在-2 , 2)上的表达式为 将其展成傅氏级数.解Date45南京航空航天大学 理学院 数学系Date46南京航空航天大学 理学院 数学系P327. 3 当函数定义在a,b上时,且满足狄氏条件令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法:Date47南京航空航天大学 理学院 数学系解例6 将函数 展开成傅氏级数. Date48南京航空航天大学 理学院 数学系Date49南京航空航天大学 理学院 数学系另解Date50南京航空航天大学 理学院 数学系小结利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);2.求出傅氏系数;3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于以2l(2p)为周期的傅氏系数;Date51南京航空航天大学 理学院 数学系
