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1、 1 引言（Introduction） 由于其实现的可靠性、实时性和经济性，分散 控制成为大系统理论中一个十分活跃的研究分支 1。一般情况下，系统模型中常含有不确定性，按 照标称参数设计的控制器可能达不到预期的性能， 因而控制器的设计必须考虑不确定性的影响。目 前，对具有范数界或满足匹配条件的不确定性关联 大系统鲁棒H控制得到了较深入研究27，而在 实际系统中，不确定项往往具有数值界的表达形 式，这种形式不需要满足匹配条件，更具代表性8。 对具有数值界不确定性控制问题的研究取得了许多 进展，但其研究主要集中在鲁棒镇定、鲁棒跟踪及 鲁棒容错控制方面812，对具有数值界不确定性 大系统的鲁棒分散H
2、控制， 相关的研究报道却很少 见报道。本文针对一类状态矩阵、控制输入矩阵及 关联矩阵中含有数值界不确定性的大系统，运用线IEEE Catalog Number: 06EX1310 此项工作得到国家自然科学基金资助, 项目批准号:604740036 性矩阵不等式(LMI)方法13研究其状态反馈分散鲁 棒H控制问题，利用有界实引理14，将控制器的 设计归结为一组矩阵不等式求解问题，进而提出了 直接LMI、 迭代LMI和同伦迭代LMI三种方法求解分 散鲁棒H状态反馈控制器，使得闭环大系统鲁棒稳 定，并且满足给定的H性能指标。 thProceedings of the 25 Chinese Contr
3、ol Conference 7-11 August, 2006, Harbin, Heilongjiang 分散鲁棒H控制器设计：LMI方法* 谢永芳 蒋朝辉 桂卫华 中南大学信息科学与工程学院，湖南长沙，410083 E-mail:;jiang_; 摘 要 :针对一类状态矩阵、控制输入矩阵及关联矩阵中存在数值界不确定性关联大系统，研究其分散鲁棒H状态反馈控 制器设计问题。基于有界实引理推导出了存在鲁棒分散H状态反馈控制器的参数化定理，即一组矩阵不等式有解。在此 基础上，提出了三种基于线性矩阵不等式(LMI)设计方法：直接LMI方法、迭代LMI方法和同伦迭代LMI方法。所获得的控 制器具有块对
4、角结构，使闭环大系统鲁棒稳定，并且满足给定的H性能指标。最后用数值实例说明了本文所提设计方法 的有效性。 关键词: 数值界不确定性；分散控制；鲁棒H控制；线性矩阵不等式(LMI)；同伦方法；迭代方法 Decentralized robust H controller design：An LMI approach XIE Yong-fang JIANG Zhao-hui GUI Wei-hua College of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China E-mai
5、l:;jiang_; Abstract: The design of robust decentralized H state feedback controller for large-scale interconnected systems with value bounded uncertainties existing in the state, control input and interconnected matrices is investigated. Based on the bounded real lemma the parameterization theorem f
6、or the existence of a robust decentralized H state feedback controller is derived. This condition is expressed as the feasibility problem of a set of matrix inequalities. Based on that, three linear matrix inequality (LMI) methods are proposed to solve the problem: the direct LMI approach, iterative
7、 LMI approach and homotopy iterative LMI approach. The controller obtained has the block diagonal structure, enables the closed-loop large-scale system robust asymptotically stable and satisfies the given H performance index. At last an example is given to demonstrate the effectiveness of the method
8、 presented in this paper. Key words: Value bounded uncertainty, decentralized control, robust H control, linear matrix inequality (LMI), homotopy method, iterative method 2 问题描述及引理（Problem description and Lemmas） 考虑一类由N个子系统组成的不确定性关联大 系统，其子系统方程为 ( )()( )( )()()( )( )( )( )( ) ( )( )txtytuDtDtxCtztxAA
9、tuBBtBtxAAtxiiiiiiiiiNijjjijijiiiiiiiiiii=+=+= =2111221,)( ?(1) 式 中 ：Ni,?1=，( )in itxR( )ir itR， ( )im ituR，( )il itz，分别为第R( )in ityRi个子 系统的状态、扰动输入、控制输入、被控输出和可 测量输出向量；矩阵，B，B，C，D，DiiAi 1211i2iii1086为具有相应维数的常数矩阵；为第个子系统与第ijAji个子系统的关联矩阵；矩阵、和分别为状态矩阵、控制输入矩阵和关联矩阵的不确定 性，它们有如下数值界8： iiAiB2ijAiiijijSBRA2 , (2)
10、 Nji,?21= 其中和为具有非负元素的实常数矩阵， 并分别与和同 维 。ijRiSijAiB2EE 的 含 义 是 ： ,Njieeijij?21= ije和ije分别为矩阵E和E的第个对应元素。 ()ji, 整个关联大系统可描述为 ()(xyuDDxCzuBBBxAAx=+=+=211221)(3) 其中 ,NNNNNNNNNNNNNijNNijDDDyyyDDDzzzCCCBBBuuuBBBBBBxxxAAAA22121111111111221212212111111?block_diagblock_diagblock_diagblock_diagblock_diagblock_dia
11、gTTTTTTTTTTTTTTT=对大系统（1），假设各个子系统的状态完全可 测，则基于状态反馈的分散H控制规律可描述为 xKyKudd= (4) 其中 =NiKKKK?,1block_diagd(5) 为能在子系统水平上给出局部状态反馈控制的块 对角矩阵的集合,。 iinm iKR),(Ni?21= 为确保分散控制器的存在,一般假设由式(1)组 成的大系统， 在控制律式(4)及结构约束式(5)下,没有 不稳定的分散固定模,并用表示从到)(dKTz z的 闭环传递函数,则 ()111DBAI sCKTz+= clcld)( (6) 其中 dclddclKDCCKBKBAAA2122 +=+=分
12、散鲁棒H状态反馈控制问题(分散鲁棒H状态反馈控制问题(DSFP)：)：对于 由式(1)组成的大系统,采用(4)式描述的控制律,在(5) 式的结构约束下,寻找一个容许的控制器 dK,使 得闭环系统对所有的不确定性(2)都渐近稳定且 ，有 YYXXXYYXTTTT1+成立。 引理引理39 若mn阶矩阵A满足DA ， 则有 AADAAD TT)(,)( 其中 ，0 及 矩阵P和满足 dK ()000000000001111=TPP (8) NiKKKK?,1block_diagd(9) 时，存在分散状态反馈控制器（5），且就为分 散状态反馈增益矩阵，使构成的闭环大系统渐近稳 定并具有给定的H性能指标
13、。其中， dK),()(SRBPKPKBPAAPATT ddT+=22 ()() .)(,),()(,)(,NNNij SSSNjiRRPKDCWblock_diagd ?1211=+=证明证明 由Schur补引理13可知，式(7)等价于 1087()0111111 ,及矩阵和对称正定矩 阵满足 dLdP000000000001111=TPP () ,dK的LMI。 因此，对固定的或，可用标 准的LMI函数求解最小的0=TPPKd 值及其对应的变量 或dKP。 据此我们提出了求解分散H状态反馈优化控 制器的迭代算法，即先固定一个参数，求解受LMI 条件约束的最小 优化问题，再固定另一个参数，
14、求解受LMI约束的最小 优化问题。 Step1 初始化系统矩阵，选择状态反馈阵，0K 渐近稳定且使渐近稳定且使)(,| ddddKBAKKKK20+=， 并设置迭代次数0=i， 所期望的H性能指标 及中 止条件参数)(10 。 Step2 对固定的iKK=d， 用Mincx函数13求解 满足约束条件式(7)(9)的最小 凸优化问题，记 为求得的iPP变量的最优值。 Step3 对固定的iPP=，用Mincx函数求解满足 约束条件式(7)(9)的最小 凸优化问题，记i 为求 得的 变量的最优值，为变量的最优值，令 迭代次数加1，即iKdK1+=ii。 1088Step4 判 断 终 止 条 件 ， 若11iii 或 i成立时，停止计算，即为所求的H反馈 增益矩阵；否则转到Step2继续执行迭代运算。 iK3.4 同伦ILMI方法 由于式(7)为一个关于变量 ,dKP的非线性 矩阵不等式（NLMI），对于NLMI的求解，目前还 没有很好的方法。本文通过选取适当的同伦函数 15,16，迭代求解分散鲁棒H控制器。引入实数10, ，并定义矩阵 ()( (),ddd T
