有效数字和数据舍入规则

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1、 有效数字取舍规则 讲 座山东省石油助剂产品及轻烃产品监督检验中心孙建军 编制我们日常接触的数据有准确数和近似数之分。作为准确数的例子有：“这里有5只杯子”中的“5” ；“三角形的内角和为180度”中的“180”“1Wh=3600J”中的“3600” 这些数之所以是准确数是因为有些是确实存在的 ,有些是理论或定义中的数。一、有效数字的概念及有效位数的确定1、近似数 近似数是由可靠数和不可靠数（一般取1位）两部 分组成的。作为近似数的例子有：所有测得值和测量结果；经过修约后的任何数值；经测定得到的物理常数记录数据时，数据位数要适当。位数太少会增大 数据的误差，而太多又会对数据的准确度产生误解。

2、这一点在检定和测量时应特别注意。 1、近似数 2 有效数字对于有小数点的数，和以非0结尾的整数，从 左边第一个非零数字起到最右边的所有数字都是有 效数字。第一个非零数字前面的0不是有效数字， 但数据末尾的0是有效数字。当一个近似数所引入的误差的绝对值小于该近 似数末位数的0.5时,从该近似数左边第一个非零数 字算起,直到最后末位数为止均是有效数字。从左边第1个非零的数字起，到所截取的数位 止，所有数字均称为有效数字。如：3.1416； 3.2345；420.00；0.87130；0.00026541等都称 为五位有效数字。而123；1.23；0.00123都称为 三位有效数字。在判定有效数字时

3、，要特别注意“0”这个数字 ，它可以是有效数字，它也可以不是有效数字，如 ：0.00123的前面的三个零均不是有效数字，因为这 三个0与0.00123的精确度无关。又如：870.00后面 的三个0，却是有效数字，因为这三个0与870.00的 精确度有关。若设此二数均是采用“四舍五入”法 截取所得，对于0.00123，其误差的绝对值为 0.000005，若去掉此近似数前面的三个0，则可写成 12310-5，其误差的绝对值为0.510-5，即为0.000 005，与精度无关。对待近似数时，不可象对待准确 数那样，随便去掉小数点部分右边的0，或在小数点 部分右边加上0，因为这样作的结果，虽不会改变这

4、 个数的大小，却改变了它的精确度。2 有效数字1、常数运算参加运算的常数如、e以及其他无误差的数值，其有效位数可认为是无限的，在计 算中要几位取几位。常数的取值不影响有效 位数。 二 数字运算规则2、加减运算在加减运算中只保留各数共有的小数位数。先找出小数位数最少的值，然后将其它的值按比 最少的小数位多一位进行修约，再运算，结果按 小数位最少的位修约 。 例如：12.5+3.26+0.165，先将0.165化整为0.16 ，则12.5+3.26+0.165=12.5+3.26+0.16=15.9在减法运算中，应避免两个接近的值相减计 算结果，因相减后其有效数字将减少。 3、乘除运算在乘除运算中

5、，先找出有效位数最少的值，将其它值按多一位有效位数进行修约，然后运算，最后按有效位数最少的值的位数修约。0.1211.315.24，先将15.24修约为15.2，则0.1211.315.24=0.1211.315.2=20.61=21。4、乘方与开方运算数据经乘方与开方运算，所得结果的有效数字位数不大于该数据的位数。一般取相同的位数。5、对数运算运算结果应与真数的位数相同。例如： lg32.8=1.51587.=1.526、计算平均值时:若数据的个数较多,则平均值的保留位数可增加一倍。7、混合运算：混合运算时所有中间运算比上面的运算多保留一位。1.1修约间隔系确定修约保留位数的一种方式。修约间

6、隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。例1：如指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。例2：如指定修约间隔为100，修约值即应在100的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。三、 数值修约规则(GB8170-87)1、术语1.2有效位数对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从 非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零 （即仅为定位用的零）的个数；对其十进位数， 从非零数字左一位向右数而得到的位数，就是有 效位数。例1:35 000,若有两个无效零,则为三位有效 数字,应写成350102 ;若有三个无效零,则为两位 有效数字,应写成351

7、03。例2：12.490为五位有效数字,10.00为四位有 效数字。1、术语2.1指定位数a.指定修约间隔为10-n（n为正整数），或 指明将数值修约到n位小数；b.指定修约间隔为1，或指明将数值修约到 个位；c.指定修约间隔为10n，或指明将数值修约 到10n（n为正整数），或指明将数值修约到“十 ”、“百”、 “千”.位数。2、确定修约位数2.2指定将数值修约成n位有效数字。3.1 拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去， 即保留的各位数字不变。例1:将12.050001修约到一位小数,得12.1。例2:将12.498修约到两位有效数字,得12。3、进舍规则3.2 拟舍弃数字的最左一位数

8、字大5时，或者是5， 而其后跟有并非全部为0的数字时，则进1，即保留 的末位数字加1。例1:将10.502修约到个位数,得11。例2:将1268修约成三位有效数字,得12710(特 定时可写为1270)。3.3 数字的最左一位数字为5，而右边无数字或皆为0时， 若所保留的位数为奇数（1，3，5，7，9）则进一，为偶 数（0,2，4，6，8）则舍弃。例1:修约间隔为0.1(10-1)拟修约数值 修约值1.050 1.00.350 0.4例2:将下列数字修约成两位有效数字拟修约数值 修约值0.0325 0.03232500 32103(特定时可写为32000)3、进舍规则3.4 负数修约时，先将它

9、的绝对值按上述规则进行修 约，然后在修约值前面加上负号。例:将下列数字修约到十数位拟修约数值 修约值-355 -3610(特定时可写为-360)-325 -3210(特定时可写为-320)3、进舍规则4.1拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结 果，而不得多次按照以上规定进行连续修约；例:修约15.4546,修约间隔为1正确做法: 15.454615错误做法: 15.454615.45515.4615.5164、 不许连续修约4.2在具体实施中,有时测试与计量部门先将获得数 值按指定的修约位数多一位或几位报出,而后由其他部门判定。为避免产生连续修约的错误，应按下列 步骤进行。 4.2.1报

10、出数值最右的非零数字为5时,应在数值后面 加“（+）”或“（-）”或不加符号，以分别表明已进行过舍、进或未舍未进。例如：16.50(+)表示实际值大于16.50,经修约舍弃成为16.50; 16.50(-),表示实际值小于16.50, 经修约进一成为16.50;4、 不许连续修约4.2.2如果判定报出值需要进行修约,当舍弃数字的 最左一位数字为5而后面无数字或皆为零时,数值后面有（+）者进一,数值后面有（-）号者舍去,其他 仍按前面规则进行。例如：将下面数字修约到个位数后进行判定(报出值多留一位到一位小数)。实测值 报出值 修约值15.4546 15.5(-) 1516.5203 16.5(+

11、) 1717.5000 17.5 18-15.4546 -(15.5(-) ) -154、 不许连续修约指定修约间隔为指定数位的0.5单位，即修约 到指定位数的0.5单位。将拟修约的数乘以2，按 指定数位依规则修约，所得数值再除以2。 5、0.5单位修约（半个单位修约）例如：将下列数字修约到个位数的0.5单位( 或修约间隔为0.5)拟修约数值 乘2 2A修约值 A修约值A 2A (修约间隔为1) (修约间隔为0.5)60.25 120.50 120 60.060.38 120.76 121 60.5-60.75 -121.50 -122 -61.0指定修约间隔为指定数位的0.2单位，即修约到指

12、 定位数的0.2单位。将拟修约的数乘以5，按指定数 位依规则修约，所得数值再除以5。例如：将下列数字修约到“百”位数的0.2单 位(或修约间隔为20)拟修约数值 乘5 5A修约值 A修约值A 5A (修约间隔为100) (修约间隔为20)830 4150 4200 840842 4210 4200 840-930 -4650 -4600 -9206、 0.2单位修约1）0.5单位修约法把拟修约位看作是个位，如果这一位和以下 的“小数位”构成的数等于或小于2.5，则把这位 变成0，其后面的数舍掉；若等于或大于7.5，则 进一位（即其左一位加1），同时把这位变成0， 其后面的数舍掉；若大于2.5小

13、于7.5，则把这位 变成5，其后面的数舍掉。例如：将下列数按0.05间隔修约原 数: 30.025 30.019 30.026 30.075 30.099修约数: 30.00 30.00 30.05 30.10 30.10 下面介绍一下0.5和0.2单位修约法的简捷方法2）0.2单位修约法首先看拟修约位是奇数还是偶数（含0），若这位 数已是偶数，则将其后面的数舍掉；若拟修约位是奇 数，且其后有不为零的数，则把这位数加1变成偶数， 其后面的数舍掉；若拟修约位是奇数，且其后面已没 有数或全为0，这时就要往左看一位，使这一位和拟修 约位构成两位“整数”，加1减1，取能被4整除的数作 为结果。 例如：

14、将下列数按0.2间隔修约原 数: 30.498 30.401 30.501 30.599 30.3 31.300修约数: 30.4 30.4 30.6 30.6 30.4 31.2下面介绍一下0.5和0.2单位修约法的简捷方法根据有效数字算 (1) 13.650.00821.6320.002(2) 703.210.354.022解答；(1)13.650.0081.6320.002 12.02812.03(2)7030.35/4.0261.261将下列数据化为4位有效数字：3.14159，14.005，0.023151，1000501解答：3.142，14.00，0.023152.31510-2

15、，1.001106。 写出下列运算结果(1) 5.1179-5.0079(2) 0.15100.1051 (3) 2/0.16解答：(l)0.1100， (2)0.1580.16，(3)39.3391）原始数据的有效数字位数须与测量仪器的精度一致：如分析天平称量应准确到0.0001g，用台秤称量时，应该 准确到0.01g。2）确定原因的可疑值应该弃去不用：操作中明显过失如称 样损失、样品溅漏等。不确定的可疑值应进行检验判断4d法（4倍平均偏差法）（1）除可疑值外，求其余数据的算术平均值 及平均偏差 （2）将可疑值与平均值 相减，若可疑值 4 ，则舍弃可疑值；若可疑值 4 ，则保留可疑值。xdxxdxd数据处理间介