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1、1积分学积分学历次考试真题历次考试真题一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 3 分，本题共分，本题共 1515 分）分）(2009.1 与与 2012.7) 3下列下列函数中函数中,（ ）是）是的原函数的原函数2sin xxA B C D2cos21x2cos21x 2cos2x2cos2x (2008.7 与与 2010.1) 3若若 F(x)是是 f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是（的一个原函数，则下列等式成立的是（ ）A B)()(d)(aFbFxxfba )()(d)(aFxFxxfxa C D)()(d)(afbfxxFba )(d)(xFxxfxa (2009.7
2、) 3下列下列定积分值为定积分值为 0 的是的是（ ）A B xxxdsin 11d222xxxC D 11d2xeexx 223)dcos( xxx(2011.7) 3下列积分中积分值为下列积分中积分值为 0 0 的是的是( )A B 11-x2edxex 11-x2edxexC D dxxx)sin(2 dxxx)cos(3(2013.1) 3. .下列积分中积分值为下列积分中积分值为 0 0 的是的是( )A B 11-x2edxex 11-x2edxexC D dxxx)cos(3 dxxx)sin(2(2008.1) 3下列下列无穷积分中收敛的是无穷积分中收敛的是（ ）A B C D
3、 1dexx 12d1xx 13d1xx 1d1xx 注：注：(2011.1) D (2012.1) D 其它选项相同，结果也相其它选项相同，结果也相 1dlnxx 0dsinxx同同 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）(2012.1) 8若若，则，则_cxxxfx 222d)( )(xf(2009.7) 8若若, 则则_cxFdxxf )()( dxxxf)1(2(2010.1，2011.1，2013.1) 8若若，则，则cxFdxxf )()(_ dxfxx)e (e(2011.7 与与 2012.7) 8若若，则，则_cxFdxxf )()(
4、dxxf)32(2(2008.7) 8_ 11231dxxx(2009.1) 8_ 113)236(dxxx三、积分计算题（每小题三、积分计算题（每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分）(2008.7) 12计算不定积分计算不定积分 dxxxln(2009.1) 12计算不定积分计算不定积分 dxxxln11(2010.1) 12计算定积分计算定积分 2 02sin dxxx(2009.7 与与 2012.7) 12计算计算dxxx 20cos(2008.1) 12计算定积分计算定积分dxxx 20cos2(2011.1 与与 2012.1) 12计算定积分计算定积分 exdxx 1
5、ln(2011.7) 12计算不定积分计算不定积分dxxx ln(2013.1) 12计算定积分计算定积分 ln302)1(dxeexx五、应用题（本题五、应用题（本题 2020 分）分）(2009.7 与与 2012.7) 15投产某产品的固定成本为投产某产品的固定成本为 36(万元万元)，且产量为，且产量为 x（百台）时边际成（百台）时边际成本为本为(万元万元/百台百台)，试求产量由，试求产量由 4 百台增至百台增至 6 百台时总成本的增量，及产百台时总成本的增量，及产602)( xxC量为多少时，可使平均成本达到最低量为多少时，可使平均成本达到最低(2013.1) 15设生产某种产品设生
6、产某种产品 q 个单位时的总成本函数为个单位时的总成本函数为(万元万元)，qqqC625. 0010)(2 求：（求：（1）当）当时的总成本、平均成本和边际成本；时的总成本、平均成本和边际成本；10 q（2）当产量）当产量 q 为多少时，平均成本最小？为多少时，平均成本最小？(2008.7) 15某厂生产某种产品某厂生产某种产品 q 千件时的总成本函数为千件时的总成本函数为 （万元），（万元），221)(qqqC 单位销售价格为单位销售价格为（万元（万元/千件），试求：（千件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？）产量为多少时可使利润达到最大？qp28 （2）最大利润是多少？）最大利润
7、是多少？(2012.1) 15某厂生产某种产品某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为件时的总成本函数为(元元)，单，单201. 0420)(qqqC 位销售价格为位销售价格为（元（元/件）问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是件）问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是qp01. 014 多少？多少？(2008.1) 15设生产某产品的总成本函数为设生产某产品的总成本函数为 (万元万元)，其中，其中为产量，单位：为产量，单位：xxC 5)(x3百吨销售百吨销售百吨时的边际收入为百吨时的边际收入为（万元（万元/百吨），求：百吨），求：利润最大时的利润最大时的xxxR211)( 产量；产量
8、；在利润最大时的产量的基础上再生产在利润最大时的产量的基础上再生产 百吨，利润会发生什么变化？百吨，利润会发生什么变化？1(2011.1) 15生产某产品的总成本为生产某产品的总成本为(万元万元)，其中，其中 x 为产量，单位：百为产量，单位：百xxC 3)(吨边际收入为吨边际收入为（万元（万元/百吨），求：百吨），求：xxR215)( （1）利润最大时的产量；）利润最大时的产量；（2）从利润最大时的产量再生产）从利润最大时的产量再生产 1 百吨，利润有什么变化？百吨，利润有什么变化？(2009.1) 15生产某种产品的边际成本函数为生产某种产品的边际成本函数为(万元万元/百台百台)，收入函数
9、为，收入函数为qqC 4)(万元万元)，求使利润达到最大时的产量；如果在最大利润的基础上再增加，求使利润达到最大时的产量；如果在最大利润的基础上再增加2 2110)(qqqR 生产生产 200 台，利润将会发生怎样的变化台，利润将会发生怎样的变化(2010.1) 15生产某产品的边际成本为生产某产品的边际成本为(q)=8q(万元万元/百台百台)，边际收入为，边际收入为(q)=100- -C R 2q（万元（万元/百台），其中百台），其中 q 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产产 2 百台，利润有什么变化？百台，利润
10、有什么变化？(2011.7) 15已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为(元元/件件)，固定成本为，固定成本为 0，边际收益，边际收益2)( xC，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，件，xxR02. 012)( 利润将会发生什么变化？利润将会发生什么变化？4参考答案参考答案2013 年年 12 月月一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 3 分，本题共分，本题共 1515 分）分）(2008.1)3.B (2008.7) 3.B (2009.1)3.B (2009.7)3.B (2011.7)
11、3.A.A (2013.1) 3.A.A二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，本题共分，本题共 1515 分）分）(2008.7)8. 0 (2009.1)84 (2009.7)8. (2010.1)8. . cxF )1(212cFx )e (三、积分计算题（每小题三、积分计算题（每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分）(2008.1)12. 解：解：由定积分的分部积分法得由定积分的分部积分法得10 分分xxxxxxxd2sinsin2dcos2202020 2 (2008.7)12. 解：解：由不定积分的换元积分法得由不定积分的换元积分法得10 分分 )(lnlnln
12、xxddxxxcx 2ln21(2009.1)12解：解：由凑微分法得由凑微分法得 )ln1()ln1(ln111ln11 xxdxxdxxx10 分分cxxdx ln12)ln1(ln11(2009.7)12. 解：解：由应用分部积分法得由应用分部积分法得 cxxxxdxxxxxxxx cossinsinsinsinddcos由牛顿莱布尼兹公式得由牛顿莱布尼兹公式得10 分分202020cossindcosxxxxxx 12 (2010.1)12解：解： 2 0222 02dsin21dsin xxxxx202cos21 x 21 (2011.1 与与 2012.1) 12 解：解：因为因为 dxxxxxxdxxdxx1 21ln21ln21ln222cxxxxdxxx 222 41ln21 21ln21所以所以 exdxx 1ln)1e (41 41ln2121212 eexxx(2011.7) 12解：解：dxxx ln)1ln(2)lnln(2ln2dxxxxxxdxxxxdx cxxxdxxxx )2ln(2)1ln(25(2013.1) 12解：解：因为因为 )e1(d)e1(e)e
