第四章优化设计20081115

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1、 4第第4章章 结构优化设计结构优化设计 4.1 概述概述 在人类生产生活中， 需要建造各式各样的结构物， 例如工民建中的高楼大厦、 工业厂房； 水利工程中的大坝、电站厂房、水闸；港口工程中的码头、船坞、防波堤等等。设计这些结 构时， 工程师们除了应当考虑这些结构的基本功能外， 总是希望把他们设计的尽可能地 “优” 。 “优”就是指满足结构基本功能的最小耗费。寻“优”的过程就是结构优化设计的过程。 结构优化设计是一门新兴的技术科学。 它的任务是以现代数学、 现代力学的理论与数值 方法为基础，以电子计算机为工具，研究工程结构设计优化与自动化的理论与方法。它的出 现，使设计者能从被动的分析、校核而

2、进入主动的设计，这是结构设计上的一次飞跃。结构设计优化绝不是用降低安全度来换取经济效益，而是采取更为合理的结构体系和方案,使之 更为可靠、经济。结构优化设计能最合理地利用材料的性能，使结构内部各单元得到最好的 协调，并具有规范所规定的安全度。同时，它还可以为整体性方案设计进行合理的决策。优 化设计是实现设计的最终目标适用、安全和经济的有效途径。 目前， 最优化方法在各个领域中得到广泛应用。 本节主要介绍普通设计与优化设计的区 别与联系、结构优化设计的基本概念、工程结构优化设计的发展以及优化设计的分类。 4.1.1 函数的极值函数的极值 极值理论是古典微分学与变分学应用的一个重要方面，也是优化设

3、计的数学基础。 最简单的最优化设计问题， 就是微积分中的求函数极值问题， 它是应用数学的一个分支， 已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。 经典最优化设计的极值问题分为两类： 第一，无约束极值问题 nnxxxFxxxFLL2121maxmin或其中： nxxxFL21是定义在n维空间上的可微函数。 如果( )XF在0XX =处满足 ()()000 XF；反之，相对极大的必要条件是()00= XF，而其充要条件是()00= XF，()00ii表示第i杆应力过大，截面尺寸应予以放大；反之，1ij，说明假设的面积不足，第i杆在j工况下工作应力小于容许应力。显然是下一步调整各杆截面积的依据。 形成应力

4、比列阵。 Tn=L21（4- 11） 其中()niijLji, 2 , 1max 1L= 亦即应力比列阵中各行的元素是应力比矩阵中同行诸元素中最大者。为综合了各工况下各杆的最大应力比。 计算nii, 2 , 11L=，。 若对所有i，有 00则称搜索成功。下一次就以hx +0为起点，以h2为步长，即步长加大两倍进行搜索，称之为大步地前进。若以0x起始，以h为步长搜索一次，目标函数不下降，即 ()()hxFxF+00则称搜索失败。下一次搜索仍以0x为起点，即退回到起始搜索点，并以4h为步长，即改变搜索方向和缩小步长，称之为小步地后退。 17 由上述分析可知，每次搜索时，步长h都要改变。若0为预先

5、给定的允许误差，则 当搜索到某步长小于时，搜索即停止，得到问题的近似解。 “成功- 失败”法的具体迭代步骤见图 4- 4。 图 4- 4“成功- 失败”法迭代步骤流程图 “成功- 失败”法具有简便的优点，但也有不容易识别最优解，而且在最优解附近收敛 速度较慢的缺点。因此，下面我们再介绍两种收敛速度较快的一维搜索方法。 4.3.2 Fibonacci 法法 考虑问题 ( )xF bxamin （4- 24） 其中( )xF是定义在ba,上的下单峰函数，如图 4- 5 所示。所谓下单峰函数（强拟凸函数）即函数在限定的区间ba,上有惟一的极小值点minx，而且在最优解minx左侧，即在区间min,x

6、a上( )xF严格下降，在最优解minx右侧，即在区间bx,min上( )xF严格上升。 任取两点bax,1，bax,2，21xx ，如图 4- 6（b）所示，由于（1）同样的理由可以知道，最优解minx必在区间bx ,1上，这时搜索区间ba,可以缩小为bx ,1。即保留区间为bx ,1，保留点为2x。 （3）( )()21xFxF，如图 4- 6（c）所示，这时最优解minx必在区间21,xx上，即区间ba,可以缩小为保留区间21,xx，但此时保留区间内没有保留点。为了简化问题，我们把第三种情形归并到第一种情形中去。即，比较( )1xF与()2xF，则 1）若( )()21xFxF，则保留区

7、间为2,xa，保留点为1x； 2）若( )( )21xFxF，则保留区间为bx ,1，保留点为2x。 这给人们以启示， 如果不断地重复上述讨论， 缩短搜索区间， 则必定能求得最优解minx。为了能利用前一次所得到的结果， 我们取前一次保留点为一个比较点， 因此只需在保留区间 上取一个不同于保留点的新点作为另一个比较点即可。 如同上述讨论， 依据同样的原则缩小区间，如此进行下去，最终总会求得minx的满足给定误差要求的近似解。像上面这种根据前面试验结果安排后面试验的方法称为序贯试验法。不难知道，初始两个比较点1x和2x的选取及新比较点的选取恰当与否， 将直接影响到搜索区间缩短的速度。 问题是怎样

8、选初始两点及怎样决定新的比较点才能保证在同样精度下计算( )xF的次数最少？假定 kF为Fibonacci 数列，即110= FF，L, 3 , 221=+=nFFFnnn，可依次算出各nF，见表4.1。 图 4- 6 单峰函数比较的几种情况示意图 19 表 4.1 Fibonacci 数列 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 nF 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 为了叙述方便，我们先考虑( )xF x 10min 若事先规定只能计算n次目标函数( )xF的值，我们取初始的两点1x、2x为 11 1 +=nn FFx

9、，12 +=nn FFx 由 Fibonacci 数列的性质可知，121xx=，并且1x与2x关于区间1 , 0对称。先按照上述缩小区间的原则决定保留区间，再按照在保留区间上关于保留点对称的原则选取新的比较点3x，即 rxx+=“小头”“大头”3其中“大头”是指保留区间右端点； “大头”是指保留区间左端点；rx为保留点。这样经过n次函数值计算之后，得到的保留点与最优解minx之间的最大可能距离为11+nF。事实上，若 11 1 +=nn FFx，12 +=nn FFx 又1x与2x关于区间1 , 0对称，则不失一般性，可以设第一次保留区间为2, 0 x，其长度为1+nnFF，如图 4- 7（a

10、）所示。 因而第一次区间缩短率为()111+=nn nnFFFF 图 4- 7 利用 Fibonacci 数列确定保留区间的长度 111+=nnrFFxx 由于新的比较点rxx+=“小头”“大头”3，所以 1211130+= + =nnnnnn FF FF FFx 同理，不失一般性，可设第二次保留区间为1, 0 x，其长度为11+nnFF，如图 4- 7（b）所20 示。因而第二次区间缩短率为 nnnnnnFFFFFF1111+= 依次类推，可知经过n次目标函数值的计算，各次区间缩短率依次为 1213212111+= nnnnnnn FFF FF FF FF FFL 故 1min1max+nr

11、Fxx 即计算n次目标函数值之后，近似解（即rx）与最优解（即minx）的误差不超过11+nF。 由上述分析还可知， 在进行第n次函数值计算时， 其区间缩短率为21， 即保留点为第()1n次保留区间的中点。初始点和新比较点的选取如上述原则的求解方法即称为 Fibonacci 法。 Fibonacci 法迭代搜索流程图如图 4- 8 所示。 图 4- 8 Fibonacci 法迭代搜索流程图 4.3.3 “0.618”法”法 “0.618”法又称黄金分割法，与 Fibonacci 法一开始的差别只在最初两个试验点的选取 上。对于问题 ( )xF x 10min （4- 25） 用 Fibonac

12、ci 法，最初两个点取在11+nnFF与1+nnFF处，而“0.618”法最初两个点选取在 0.382 与 0.618 处，即 21 382. 01=，618. 02= 对于“0.618”法来说，一旦1x、2x取定后，序列中其余各点取法与 Fibonacci 法的原则一样， 即按在保留区间中与保留点对称的原则来确定。因此可以认为这两个方法的差别只是在于以不随n而改变的 0.382 与 0.618 来代替随n而改变的11+nnFF与1+nnFF。 类似地， 对于问题 ( )xF bxamin （4- 26） “0.618”法的最初两个试验点应取为 ()abax+=382. 01()abax+=6

13、18. 02以后各试验点的选取原则与前述情形相同。 “0.618”法迭代流程图如图 4- 9 所示。 由上可知，0.618 是数列1+nnFF当+n时的极限的近似值。 “0.618”法可以看作是 Fibonacci 法的近似。但是， “0.618”法实现起来比较简单，它避免了直接使用 Fibonacci数，而且不必先确定试验次数，计算效果也很好，易于为人们所接受，这是“0.618”法的最大优点。但是也有必要指出，由于 0.618 是数列1+nnFF的近似数值，加上累积误差的影， “0.618”法以最多安排 11 次试验为宜。 图 4- 9 “0.618”法迭代流程图 4.3.4 牛顿法牛顿法

14、多维情况时的牛顿法与一维情况相似， 它的基本思路是首先把高次函数近似地简化为一 次或二次函数，因为二次函数的极值点是较容易求得的，二次函数的偏导数是线性的，所以 只须解一组线性方程即得极值点。显然对二次函数只需经过一次迭代，而对高次函数，因为 经过简化近似，所以应继续迭代，直至达到要求的精度为止。 22 将函数( )xF在( )k点做简化处理 ( )( )( )( )()( )()( )()( )()( )()( )()kkTkkTkkkXXXHXXXXXFXFXXF+=21 （4- 27） 式中：( )()kXH为( )xF在( )kX处的二阶导数矩阵，即海森矩阵。函数的梯度为 ( )( )

15、( )()( )()( )()kkkkXXXHXFX+= （4- 28） 根据极值点处梯度为零的性质，( )( )Xk的极小点用作( )xF极小点的1+k次的近似，即由式（4- 28）的迭代公式 ()( )()()( )()kKkkXFXHXX=+11（4- 29） 式（4- 29）也可以理解为牛顿法中的搜索方向为 而步长为 1。 此外，和一维时的情况相似，牛顿法要求有合适的初始点。如初始点偏离极值点太远， 则有可能不收敛。 4.3.5 变尺度法变尺度法 牛顿法收敛速度快，但它要求函数的二阶导数的逆，计算工作量大，而且有些实际问题目标函数的二阶导数很难求得， 因而牛顿法的应用受到限制。 为此人们对这种古老的算法作了种种改进。其中一种思路是用一个nn阶对称矩阵A来逐步逼近牛顿法中的( )1xH，这种方法称为拟牛顿法 （Quasi Newton Method） 。 由于矩阵A是由递推公式逐步迭代产生的， 所以这个方法又叫变尺度法（Variable Metric