《常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用 待定系数法 或常数变易法 求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。求出u，然后回代。解出方程。解微分方程的实质就是变量替换， 然后化解为可分离变量。 然后回代。待定系数法考虑以下的微分方程：对应的齐次方程是：它的通解是：由于非齐次的部分是()，我们猜测特解的形式是：把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：因此，原微分方程的解是：() 常数变易法假设有以下的微分方程：我们首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的
2、函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：y = u1y1 + u2y2。(1) 两边求导数，可得：y = u1 y1 + u2 y2 + u1y1 + u2y2。我们把函数u1、u2加上一条限制：u1 y1 + u2 y2 = 0 。(4) 于是：y = u1y1 + u2y2。(2) 两边再求导数，可得：y“ = u1 y1 + u2 y2 + u1y1“ + u2y2“ 。(3) 把(1) 、(2) 、(3)代入原微分方程中，可得：u1 y1 + u2 y2 + u1y1“ + u2y2“ + pu1y
3、1 + pu2y2 + qu1y1 + qu2y2 = f(x)。整理，得：u1 y1 + u2 y2 + (u1y1“ + pu1y1 + qu1y1) + (u2y2“ + pu2y2 + qu2y2) = f(x)。由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此(u1y1“ + pu1y1 + qu1y1)和(u2y2“ + pu2y2 + qu2y2)都变为零，故方程化为：u1 y1 + u2 y2 = f(x)。(5) (4)和(5)联立起来，便得到了一个u1和u2的方程组。解这个方程组，便可得到u1和u2的表达式；再积分，便可得到u1和u2的表达式。这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性
4、微分方程。一般地，有：其中 W 表示朗斯基行列式 。接下来的文章，我觉得是可以解释为什么可以用常数变易法来解线性微分方程1：变量替换法对于一阶线性微分方程以前我一直在考虑常数变易法的实质是什么，我觉它就是个特殊的变量代换法。在解齐次方程时用代换，而这里是; 一般地代换，为的确定函数。是的未知函数，那么乘以可以表示任意的的函数。这是我想到的变量代换的理由。选一个适当的，就能使方程化成变量可分离的。这个是怎么选定的，反向过来看，把带入后，得到，刚好后两项相互抵消，就可分离变量了。也就是说当时人们想找一个能使后两项和为零的。其实这个问题就是解, 刚好就是求对应的齐次方程的解。接着来！式子,.(1)
5、对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分） 。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的和分离上来。尝试和启示先直接分离看一下：= ,.(2) 从中看出不可能单独除到左边来，所以是分不了的。 这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数。解法设， 即. 将代入 (1)式:= = = ,(3) 这时 u 又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果，那么那一项就消失了；再比
6、如说，对于（2）式，如果，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为和等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。 Ok，好戏开场了。进一步：变量代换法筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。就是这么符合要求的一个函数。其中和都是关于的函数。这样求对应于的函数关系就转变成分别求对应于的函数关系和对应于的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现非也，和都非常有用，看到下面就知道了。让我们看看讲代换代入（ 1）式会出现什么：,(4) 如果现在利用分离变量法来求对应
7、于的函数关系，那么就是我们刚刚遇到的没法把单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是的用处就有了。令，解出 v 对应 x 的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。= ,(5) 现在解出来了， 接下来该处理了，实际上当解出来后就十分好处理了。把（5）式代入（ 4）式，则这一项便被消掉了。剩下的是而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来：= = ,(6) 现在和都已求出，那么也迎刃而解：= = ,(7) (这里) 这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方
8、程。这个方法不是没有名字的，它叫“变量代换法”（挺大众的一名字），即用代换了。这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。2 常数变易法换个思路，求的微分方程（即）其实就是求当时的齐次方程。 所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出的解来。得：,(8) 注意这里的并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是而已。而最终答案是，仅是其中一部分。因此这里的并不是我们要的y，因此还要继续。把（ 8）式和上面提到的（7）式比较一下：,(7) ,(8) 结论、（7）式是最终的结论， （8）式是目前我们可以到达的地方。那我们偷下懒好了：把（8）式的那个换成，再把这个解出来， 不就 ok 了么。 所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数硬生生地变成了。接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换代入（ 1）式，由于是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得。从中解出，再带回便可得到最终答案。
