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1、 1第十章 真空中的静电场 第十章 真空中的静电场 10-1 卢瑟福实验证明：两个原子核之间的距离小到1510m 时，它们之间的斥力仍遵守库 仑定律。已知金原子核中有 79 个质子，粒子中有 2 个质子，每个质子的带电量为 C106 . 119，粒子的质量为 6.682710kg。当粒子与金原子核相距 6.91210m 时，试 求：(1) 粒子所受的力；(2) 粒子的加速度。 解解 (1) 粒子电量 2e，金核电量为 79e。粒子所受的库仑力为 ()N1064. 7 109 . 6792 41 414 212 02210= =ee rqqF(2) 粒子的加速度 223 274 sm1014.
2、11068. 61064. 7=mFa 10-2 如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电量为 q，试求在直杆延长线上到 杆的一端距离为 d 的点 P 的电场强度。 解解 建立如图所示坐标系 ox，在带电直导线上距 O 点为 x 处取电荷元xLqqdd =，它在 P点产生的电场强度为 ()()xxdLLqxdLqEd41d 41d2 02 0+=+=则整个带电直导线在 P 点产生的电场强度为 ()()dLdqxxdLLqEL+=+=002 041d41 故()iEdLdq +=0410-3 两根相同均匀带电细棒，长为 L，电荷线密度为，沿同一直线放置，两细棒间最近 距离也是 L，如图
3、所示。设棒上的电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。 解一解一 先按左棒为场源电荷，而右棒为受力电荷。计算左棒场强再求右棒所受电场力。 建立如图所示坐标系，在距 O 点为 x 处取微元xd，它在距 O 点x处产生的场强为 ()2 04ddxxxE=2因此左棒在x处产生的场强为 () =xLxxxxEL11 44d002 0 在x处取电荷元xd，它受到的左棒的电场力为 xxLxExF = =d11 4dd02 右棒受的总电场力为 34ln423ln23ln4d11 4d0202320232 = = =LL LLLLxxLxFFLLLL解二解二 求电荷元dx与xd 的库仑力叠加。在两带电细
4、棒上各取一微元xd 、dx，它们 之间的距离为xxr=，则xd 受dx的库仑力为 ()2 04dddxxxxF=()34ln4d11 44dd02320202 0232 = =LLLLLxxLxxxxxF F 方向为 x 正向，左棒受右棒库仑力FF= 10-4 用绝缘细线弯成的半圆环，半径为 R，其上均匀地带有正电荷 Q，试求圆心处点 O 的 场强。 解解 将半圆环分成无穷多小段，取一小段 dl，带电量lRQqdd= dq 在 O 点的场强2 02 04d4ddRlRQRqE = 从对称性分析，y 方向的场强相互抵消，只存在 x 方向的场强 lRQEEdsin4sindd3 02x= ddRl
5、 = d4sind2 02xRQE = 32 0202 02xx2d4sindRQ RQEE=方向沿 x 轴正方向 10-5 如图所示，一绝缘细棒弯成半径为 R 的半圆形，其上半段均匀带有电量 q，下半段均 匀带有电量-q。求半圆中心点 O 处的电场强度 E。 解解 上半部产生的场强 将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段 dl (所带电量lRqqd2d=) 在 O 点产生的场强2 04ddRqE=+方向如图所示 下半部产生的场强 以 x 轴为对称轴取跟 dl 对称的一小段ld(所带电量lRqq=d2d) 在 O 点产生的场强2 04ddRqE=方向如图所示 根据对称性，在 x 方向的合场强相
6、互抵消为 0，只存在 y 方向的场强分量 sin4dsindd2 0y=+RqEE 总场强2 02203 022 02 0yydsinsin4d22 sin4d2d2Rq RqR RlRqRqEE =10-6 如图所示，一半径为 R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为 ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度 E。 4解解 d对应的无限长直线单位长带的电量为dd =q 它在轴线 O 产生的场强的大小为 RRqE02 02d 2dd = (见 27 页例 1) 因对称性ydE成对抵消REE02x2dcoscosdd= RREE022002x2dcos2d =10-7 一半径为 R、长
7、度为 L 的均匀带电圆柱面，总电量为 Q。试求端面处轴线上点 P 的场 强。 解解 取如图所示的坐标， 在圆柱上取宽为 dz 的圆环， 其上带电量为zLQqdd =， 由例题 3 （18页）知，该圆环在轴线上任一点 P 产生的电场强度的大小为 ()()2322 04d d zLRzLQzL E + = 整个圆柱形薄片在 P 点产生的电场强度的大小为 ()() += + = 22002322 011 44dLRRLQzLRzLQzL ELE 方向 Q0 时沿 z 轴正方向，QR) A 为常量。试求球内、外的场强分布。 解解 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 应用高斯定理有024qrE=
8、q 为高斯球面内所包围的电量。设距球心 r 处厚度为 dr 的薄球壳所带电量为 dq rArrrqd4d4d32= rR 时 403d4ArrArqr= 解得 024ArE = (rR) (或rE024Ar=) rR 时高斯面内包围的是带电体的总电量 Q 4030d4dARrArqQRR=应用高斯定理024QrE= 2 044rARE= (rR) (或rE2 044rAR =) 当 A0 时，场强方向均径向向外；当 AR) 试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。 解解 (1)因为电荷分布具有球对称性，把球体分成许多个薄球壳，其中任一球壳厚度为 dr，体积
9、为rr d42。在此球壳内电荷可看成均匀分布。此球壳所带电量为 12rrRqVqd4dd3 4= 则总电量为 qrrRqVqQR=03 4d4dd (2)在球内作半径为 r 的高斯球面，按高斯定理有 4 0214 0402 4 02 14d414RqrERqrrrRqrrEr=得 4 0214RqrE= (rR) 在球外作半径为 r 的高斯球面，按高斯定理有 02 24qrE= 得 2 024rqE= (rR) (3)球内电势，设无穷远处为零势能点 +=+= RRrRRrrq RqrUrrrErEd4d4dd2 04 02211 =3304 030412123Rr Rq Rqr rq (r=+
10、=+R)处为零电势点，圆柱体 内、外各点电势的分布。 解解 电荷体密度是轴对称分布。所以电场也是轴对称分布。E沿半径方向，以垂直于轴线 的端面与半径为 r，长为 l，过所求场点的同轴柱面作为高斯面。 rlE S2d=SE lArrArrzqrl3020032ddd=因 =q S01dSE 所以 023ArE = (rR) rR 时，lARq3 32= rARE033= rR rlAR rARUlrlrln33d0303=lE rR ()RlARrRArrARrArUlRRrln39d3d303 3300302+=+=2610-44 在一个电量为 q 的点电荷的电场中，作 3 个电势不同的等势面
11、 A、B、C，如图所示。若AUBUCU，试证明：电场强度越大的地方等势面间距越小。 证明证明 A、B 间电场强度大于 B、C 间电场强度，因此为证明本题结论只需证明 A、B 间距 小于 B、C 间距。 因 CBBAUUUU= 所以 = CB0BA011 411 4RRq RRq 即 ()CA BCABRRRRRR= 显然 CARR 1)的两个异号点电荷，ne 位于坐标原点 O 处，-e 处在点(a，0，0)处。设无穷远处为零电势参考点，证明：在该电荷系附近电势为零的等势 面是一个球面，并求球心的位置及球面半径的大小。 解解 取如图所示坐标系，设 P 点的电势为零，则 0441020=+re rne 所以nrr121= 而()21222 1zyaxr+= 21222 2zyxr+= 代入上式中化简得 27222222211 =+ nnazynanx 此式为一球面方程，球心的坐标为 00122 ,nan，球面半径为12nna。
