《因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 因式分解方法归纳总结 第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、 分组分解法和十字相乘法 本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b) 二、运用公式法. （ 1）(a+b)(a -b) = a2-b2-a2-b2=(a+b)(a -b) ；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(a b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a2
2、+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ；例.已知abc， ，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222abcabbccaabcabbcca222()()()0abbccaabc三、分组分解法例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式
3、=)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx222 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx例 4、分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba练习：分解因式3、yyx
4、x39224、yzzyx2222综合练习：（ 1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（ 6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）) 1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法. （一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积； （3）
5、一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知0a5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a. 解 析 ： 凡 是 能 十 字相 乘的 二 次 三 项式 ax2+bx+c， 都要 求24bac0 而且是一个完全平方数。 于是98a为完全平方数，1a3 例 8、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221 2 88baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba练习 8、分解因式 (1)2223
6、yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx1 -2y 把xy看作一个整体1 -1 2 -3y 1-2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(xyxy练习 9、分解因式： （1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习10、 （1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（ 6）2634422nmnmnm（7）3424422
7、yxyxyx（ 8）2222)(10)(23)( 5bababa（9）10364422yyxxyx（ 10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、换元法。例 13、分解因式（1）2005) 12005(200522xx（ 2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解： （1）设 2005=a，则原式 =axaax)1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx（2） 型如eabcd的多项式， 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。4 原式 =222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式 =2)2(xA
8、xA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习 13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90) 384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5() 1(aaa例 14、分解因式（1）262234xxxx 观察： 此多项式的特点是关于x的降幂排列， 每一项的次数依次少1， 并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 =)1162(222 xxxxx=6)1()1(2222 xxxxx设t xx1，则212 22txx原式 =6)2222ttx （=10222ttx=2522t
9、tx=215222xxxxx=21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx解：原式 =22 241(41)xxxxx=1141222 xxxxx设yxx1，则21222yxx原式 =22(43)xyy=2(1)(3)xyy=)31)(11(2 xxxxx=13122xxxx练习 14、 （1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx5 六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1）4323xx 解法 1拆项。解法 2添项。原式 =33123xx原式 =444323xxxx=)1)(1(3) 1)(1(2xxxxx=
10、)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=) 1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx（2）3369xxx解：原式 =)1() 1() 1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习 15、分解因式（1）893xx（ 2）4224) 1() 1() 1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba七、待定系数法。例 16、分解因式
11、613622yxyxyx分析：原式的前3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得 32nm原式 =)32)(23(yxyx6 例 17、 （ 1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分 解此多项式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。（1）分析： 前两项可
12、以分解为)(yxyx，故此多项式分解的形式必为)(byxayx解：设6522ymxyx=)(byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba当1m时，原多项式可以分解； 当1m时，原式 =)3)(2(yxyx；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx（2） 分析：823bxaxx是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘， 因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(2382323ccbca解得4147cba，ba=
13、21练习 17、 （1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx（3） 已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。7 第二部分：习题大全 经典一：1、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _xxxxxxxxxxxxxxxxxx经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为
14、逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不8 能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利
15、用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 xxxxx54321分 析 ： 这 是 一 个 六 项 式 ， 很 显 然 要 先 进 行 分 组 ， 此 题 可 把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后， 再进一步分解； 也可把 xx54，xx32，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式()()xxxxx54321xxxxxxxxxxxxx32232221111111(
16、)()()()()()()解二：原式 =()()()xxxxx54321xxxxxxxxxxxxxxxxx4244222211111121111()()()()()()()()()()2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 xx3234解一：将 32x 拆成 222xx ，则有9 原式xxxxxxxxxxxx322222242222212()()()()()()()()解二：将常数4 拆成13，则有原式xxxxxxxxxxxx32222133111 3314412()()()()()()()()()3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： ()()xxx22410
