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1、线性代数 第1 页 共 5 页线性代数课程考试题参 考 解 答一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2 分，共 20 分） ：1. 排列 36125784 的逆序数是5 ，是奇排列。2311252,_ 4_232xx若则。3线性方程组ndxcxmbxax2121 的系数满足 _adbc _ 时，方程组有唯一解.4. 111_11A设，则。1122 11225. 向量)1,2,2,3()4,2,2, 1(，则 + =_(4,4,0,5) _。6单独一个零向量必线性_相关 _。7设 A 是一个 n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R（A）=_n_。8设 AX = O 是有 5 个方程，
2、 6 个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为 2，则方程组AX = O 有_无穷多 _组解，其基础解系含_4_个解向量。9设21XX，是非齐次线性方程组AX = B 的两个解，则21XX是方程组 _AX = O_的解，21XX是方程组 _AX = B_的解。10若 为可逆矩阵A 的特征值，则1A的特征值为 1/。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题 2 分，共 10 分） ：1.设行列式121213 101 22 3 ,010 , 31 510DDDD若则的取值为( )。 0, 1 0, 2 1, - 1 2, - 1 线性代数 第
3、2 页 共 5 页2. 设 A, B 为 n 阶 方 阵 ， A O, 且 AB = O, 则 ( ) 。BA = O( A- B)2= A2+ B2B = O B = 0 或 A = 0 3. 设 A 为 n 阶方阵，那么TAA是（） 。 对称矩阵 反对称矩阵可逆矩阵 不可逆矩阵4. 设 P 为 m 阶非奇异矩阵，Q 为 n 阶非奇异矩阵，A 为 m n 阶矩阵，则（） 。 R(PA)=R(A)，R(AQ)R(A) R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A)R(PA) R(A)，R(AQ)=R(A) R(PA) R(A)，R(AQ) R(A)5. 三阶方阵 A 的特征值为1, 1, 2 且
4、B = A 35 A2 , 则 B 的特征值为 ( )。 2, 4 1, 4, 6 1, 4, 6 4, 6, 12 三、计算题 ( 每小题 8 分，共 64 分) ：1. 计算 4 阶行列式100010010001aaaaD。解：22221001000010110101 (1)(1)01000110001aaaaDaaaaa aaaaaa2. 设矩阵TABCCBA)(,2412,435214,240031求。解：411302121421602625042421428421404234ABC422614060)(TABC线性代数 第3 页 共 5 页3. 设，58000230000030000
5、04300021A.利用分块矩阵求1A。解：令 ADOOOCOOOB,其中 B4321 ,C=(3),D=58231A=111DOOOCOOOB=38000250000000000000123121 234. 求向量组1113420112404321，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。解：4321=130214141210通过初等变换为00001210212301所以这个向量组的极大线性无关组为1，2且3=23 122，4=21 1256. 设1231100 ,1 ,1101为 R3的一组基 , 将其化为标准正交基。解： (1)利用施密持正交化方法将其正交化线性
6、代数 第4 页 共 5 页21 11221 113132 3312 112211111/ 2 10 ,10121011/ 2011/ 22/ 3 11/ 21002/323/2111/ 22/3,TTTTTT即23,是的正交向量组 .(2) 将123,标准化11122233322 ,6 / 2 ,3 ,3TTT312 123 1231/61/31/20,2/6,1/31/21/61/37. 求解方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx的通解。解：1131 11131 11131 1()3134 404671046711598 00467100000335101
7、1311244 3713710101244244 0000000000A B312412122011220333751,2244443337(10) ,(01)2244 51(00)44TTTXXXXC XC XX1线性方程组的基础解系为线性方程组的特解为故线性方程组的通解为其中 C1,C2是任意常数。线性代数 第5 页 共 5 页8. 设100010021A，求 A 的特征值及对应的特征向量。3100010(1)0021EA特征值 1231. 对于11，1000000020EA，特征向量为100001kl四、证明题（6 分） : 设向量组123,线性无关，证明：向量组122331,线性无关 . 112223331131122233131231223123122331()()()0()()()00001011100011.kkkkkkkkkkkkkkkkkk设，即因为，线性无关，则所以2，即，有唯一零解故，线性无关
