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1、19习 题 三1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。解()Xk表示事件： 前1k次出现正面， 第k次出现反面， 或前1k次出现反面，第k次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.kkP Xkppppk2袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。解从ab个球中任取r个球共有r a bC种取法，r个球中有k个黑球的取法有krk baC C，所以X的分布列为()krk ba r a bC CP XkC，max(0,), max(0,) 1,min( , )krarab r，此乃因
2、为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即0k；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1ipii，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布列。解设iA第i个零件是合格品1,2,3i。则1231 1 11(0)()2 3 424P XP A A A，123123123(1)()P XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A1 1 11 2 11 1 362 3 42 3 42 3 424，123123123(2)()P
3、 XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A1 2 11 1 31 2 3112 3 42 3 42 3 424，1231 2 36(3)()2 3 424P XP A A A. 即X的分布列为2001231611624242424XP. 4一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。解(0)P XP(第一个路口即为红灯)12, (1)P XP(第一个路口为绿灯，第二
4、个路口为红灯)1 112 24，依此类推，得X的分布列为012311112488XP. 5将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故1( ,)2XB n，X的分布列为1()2n k nP XkC0 , 1,kn6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有8 次呼叫的概率； （2）每分钟的呼叫次数大于10 的概率。解设X为每分钟接到的呼叫次数，则(4)XP（1）8 4448444(8)0.29778!kkkkqP Xeeekk（2）4114(10)0.00284.!kkP Xek7某商店每月销售某种
5、商品的数量服从参数为5 的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977 以上。解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意2151150.99977()1()1()1!kKNKNP XNP XNP XKek即5150. 0 0 0 2 3!KKNek查泊松分布表知115N，故月初要库存14 件以上，才能保证当月不脱销的概率在 0.99977 以上。8已知离散型随机变量X的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P XP X，(3)0.5P X，试写出X的分布函数。解X的分布列为 1230.20.30.5XP所以X的分布函数为 0 ,1,0.2, 12,( )0.5
6、,23,1 ,3.xxF xxx9设随机变量X的概率密度为 sin ,0,( )0,cxxf x其他.求： （1）常数C； （2）使()()P XaP Xa成立的a. 解（1）001( )sincos2f x dxcxdxcxc，12c；（2）1111()sincoscos2222aaP Xaxdxxa，001111()sincoscos ,2222aaP Xaxdxxa可见cos0a， 2a。10设随机变量X的分布函数为( )arctanF xABx，x，求： （1）系数A与B； （ 2）( 11)PX； （ 3）X的概率密度。解（1）由分布函数的性质220()21()2FABFAB于是12
7、A，1B，所以X的分布函数为11( )arctan2F xxx，（2）11111( 11)(1)( 1)()24242PXFF；（3）X的概率密度为21( )( ) (1)f xFx x，x. 11已知随机变量X的概率密度为| |1( )2xf xe，x. 求X的分布函数 . 解001,0,2( )( )11,0,22xuxxxue dux F xf u due dxe dux1,0,2 11,0.2xxexex12设随机变量X的概率密度为,01,( )2,12,0,xxf xxx其他.求X的分布函数 . 解( )f x的图形为X的分布函数为( )( )x F xf u du2301010,0
8、,01,(2),12,1,2.xxxuduxxdxu duxx220,0,01,221,12,2 1,2.xxxxxxx13 13设电子管寿命X的概率密度为2100,100,( )0,100.xxf xx若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率； （2）在使用的最初150 小时内烧坏的电子管数Y的分布列； （3）Y的分布函数。解Y为在使用的最初150 小时内烧坏的电子管数，(3,)YBp，其中15021001001(150)3pP Xdxx，（1）所求概率为23 2 3121(2)(2)(3)333P YP YP YC0 1 2 x (1，
9、1) f(x) 24727；（2）Y的分布列为3312()33kk kP YkC，0,1,2,3,k即01238126127272727YP. （3）Y的分布函数为 0 ,0,8,0127 20( ),12,27 26,23,27 1 ,3.xxF xxxx14设随机变量X的概率密度为2 ,01,( )0 ,.xxf x其他现对X进行n次独立重复观测，以nV表示观测值不大于0.1 的观测次数，试求随机变量nV的概率分布。解(,)nVB n p，其中0.10(0.1)20.01pP Xxdx，所以nV的概率分布列为()( 0. 0 1)( 0. 9 9 ),0, 1kknk nnP VkCkn.
10、 15设随机变量1, 6XU，求方程210xXx有实根的概率 . 解设A方程有实根 ，则 A发生240X即|2X，因1,6XU，所以A发生2,X所以624( )(2)0.8615P AP X. 2516设随机变量2,5XU，现对X进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于3 的概率 . 解设Y为三次观测中，观测值大于3 的观测次数，则(3,)YBp，其中532(3)523pP X，所求概率为23 2 321220(2)(2)(3)33327P YP YP YC. 17设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分） ，服从参数为15的指数分布。 若等待时间超过10 分钟， 则他就离开。 设他
11、一个月内要来银行5 次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及(1)P Y。解由题意(5,)YBp，其中25510 101(10)5xx pP Xedxee，于是Y的分布为225 5()() (1)0,1,2,3,4,5,kkkP YkCeek25(1)1(0)1(1)0.5167P YP Ye. 18一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数( )N t服从参数为t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8 小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。解（1）设T的分布函数为( )TFt，则( )()1()TFtP TtP
12、 Tt事件()Tt表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故( )0N t，于是0()( )1()1( )0)11,00!tt TtFtP TtP N teet，可见，T的分布函数为1,0,( ) 0,0.tTetFt t即T服从参数为的指数分布。（2）所求概率为2616 8 816,8(16)(16|8)(8)(8)P TTP TeP TTeP TPe. 19设随机变量2(108, 3 )XN。求（1）(101.1117.6)PX； （2）常数a，使()0.90P Xa；（3）常数a，使(|)0.01PXaa。解（1）117.6108101.1108(101.1117.
13、6)()()33PX(3 2)( 2 3)(3 2)(2 3)10.99930.989310.9886；（2）1080.90()()3aP Xa，查表知1081.283a，所以111.84a；（3）0.01(|)1(|)1(02 )PXaaPXaaPXa21081(),3a所以2108()0.993a，查正态分布表知21082.333a，故57.495a。20设随机变量2(2,)XN，且(24)0.3PX，求(0)P X。解420.3(24)()(0)PX，所以2()0. 8，0222(0)()()1()0.2P X。21某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（
14、即参数之值）为72 分， 96 分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率。解9 67 22 40. 0 2 3(9 6 )1()1()P X27242412()0.977,2,1.所求概率为8 47 26 07 21 21 2( 6 08 4 )()()()()PX122()120.841310.6826.22假设测量的随机误差2(0,10 )XN，试求在 100 次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率， 并利用泊松分布求出的近似值。解设Y为误差的绝对值大于19.6 的测量次数，则(100,)YBp，其中( |1 9. 6 )1(1
15、 9. 61 9. 6 )1(1. 9 6 )pPXPX22(1. 9 6 )220. 9 7 5，所求概率为100 100 100 3(3)(0.05) (0.95),kkkkP YC利用泊松定理100 5350.875!kkek. 23在电源电压不超过200V，在200240V和超过240V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001 和 0.2，假设电源电压X服从正态分布2(220, 25 )N，试求：（1）该电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。解设A电子元件损坏 ，iB电源电压在第i档 ，1,2,3i，则（1）112233( )
16、() (|)() (|)() (|)P AP BP A BP B P A BP BP A B(200)0.1(200240)0.001(240)0.2P XPXP X200220240220200220()0.1()()0.001252525 2402201()0.225 20202020()0.1()()0.001(1()0.225252525 (10.7881)0.1(20.7881 1)0.001(10.7881)0.20.064128（2）22 2()(|)0.005756(|)0.08980.06410.0641P BP A BP BA. 24假设随机变量X的绝对值不大于1；11(1),(1)84P XP X，在事件 11X出现的条件下，X在( 1, 1)内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X的分布函数；（2）X取负值的概率P. 解1设X的分布函数为( )F x，则
