物理竞赛辅导力学讲座

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1、二体问题两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又 分为束缚问题与散射问题两大类。这里先介绍二体散射问题， 包括碰撞、合并和分裂问题。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。弹性碰撞非弹性碰撞 合并非弹性碰撞 分裂处理这类问题的思路如下：1.在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬间碰撞后合并。在所考虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用也可忽略，因而系统动量守恒。即系统质心的速度、动量和动能守恒；2.机械能是否守恒问题，应作如下考虑：（1）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。机械能就是动能。（2）按科尼希定理，系统动能Ek=系统质心动

2、能EC+系统 相对于其质心的动能。由于EC是守恒量，问题化为系统在质心系内动能是否守恒的问题。二体直线运动系统在C系中的动能表示式在C系中，C点的坐标恒为零：L系C系m1, m2 在两个坐标 系中的坐标： L系：x1 , x2 C系： 1 ， 2 m2相对于m1的坐标：m2相对于m1的速度：(1)(2)(3)C210xm2x1x2xCrm1即(3）式的分子为零：（4）其时间导数也为零：（5）C21L系C系0xm2x1x2xCrm1在L系中，质心坐标为：质心速度为：（6）（7）由（2）式 和(5)式联立解出两物体在C系中的速度：引入折合质量:（10）（8）（9）两物体在C系中的速度简化为：系统在

3、C系中的动能便是：（11）重要结论：二体系统在C系中的动能，等于一个等价质点的动 能该质点质量为折合质量，速率为二体相对速度 。 (11)在二体问题中应用甚广。将（11）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：1.相对运动速率 不变者，机械能守恒。此称完全弹性碰撞；2. 变小但尚未减为零者，机械能减小。此称非弹性碰撞；3. 在合并问题中， 减为零，机械能损失最大。此称完全非弹性碰撞；4.在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；质心在L系中的 动能,守恒部分系统在C系中的 动能,可变部分系统在L系 中的动能（12）例题2.mM质量为m的子弹以速度 沿水平方向射入静止悬 挂的沙袋，并与沙

4、袋一起运动。沙袋质量为M. 求 系统的机械能变量E.m+M解. 这是合并问题。子弹钻 入沙袋前瞬间，系统动能为子弹钻入沙袋后瞬间，系统 动能为机械能变量在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。mMm+M机械能变量验证：系统初始动能：子弹钻入后系统速度：系统碰后动能：证毕李长江：p23，1.3.5由动量守恒知：（1）已知人对车相对速度（2）（2）代入（1）：解得：（3）Mm0xmm解(1). 若N个人同时跳下 v人人相对 于地面 的速度 v车车相对 于地面 的速度已知人对车的跳下速 度 沿铁轨向左。第k个人跳车时他对地面速度为 解(2). 若N个人逐个跳下M0x(N-k+1)人设第

5、k-1个人跳车后车速为第k个人跳车后车速为第k-1个 人跳车后 的车速第k个人跳 车后的瞬间第k个人 跳车后 的车速M0x(N-k)人由动量守恒知：（k=1,2,3N）设定 的正方向都是由左向右（ 的投影应为负值： ）,由上式解出递推关系： 递推关系使我们得以从前一个vk-1值推得后一个vk值。现在我们来用它推得所求结果：第k个人跳车前的动量第k个人跳车后的动量k=1:k=2:k=3:k=4:k=N:k=N-1:将以上N个等式相加， 左边给出vN，即第N个人跳车后的车速；右边 是一个有限项级数和：负号表示v车与vr反向。本题结束关键：设所有 速度沿x正向为 正第20届：一、2（填空）三体完全弹

6、性碰撞问题过程：1球撞击2球后静止，2球以速度v0 向右行进 ，然后撞击3，4球123423412341问题：撞击完3，4球后，2球是否回弹？2343030xy解：在xoy平面上，碰撞前后动 量守恒x方向y方向碰撞为完全弹性，前后机械能守恒几何关系7个方程，7个未知数，问题可解结果：方向向左。本题结束则2球与1球再次碰撞，最后停下。1球获得速度后，向左飞去。李长江：p6，1.1.131.解: 取小球a,b和地球组成的系统。绳中张力不作功，系统机械能守恒。取O点为势能零点 ，则有： mm L1L2abO初态mmL1L2abTmgO瞬态v(1)由（1）解出速度与位置的关系：随着 变小，v和T将变大

7、，当T=mg时，a球开始离地。b球的绳张力满足：将(2)和T=mg代入上式，解出：本题结束（2）mmL1L2abTmgO瞬态水平Tmgb球的向 心力第29届：15题解轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直的瞬间两小球绕圆心的角动量守恒v0v0m2m R绳拉直瞬间（1）v1, v2为绳作用力消失后两球的切向速度。另一方面，机械能不受损失，则有：（2）解（1），（2）联立求出两套解绳作用后舍去第一套解（初态），第二套解代表两球速度都改变了方向m2m R解绳提供的冲量为前后动量差，绳 给1的冲量的切向分量为：绳给2的冲量的切向分量为：（3）（4）两冲量分别以所对应球的初

8、始切向速度分量为参考正向绳作用后m2m R解绳给2的冲量的切向分量为：这两个量只是两个冲量的切向分量，它们对应的总冲量分别为绳作用后m2m R（1）答案解绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球的运动状态改变并不在一瞬间完成。因此，绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。v0v0m2m R绳拉直瞬间v2v1=0 m2m R球1停止时解绳拉伸过程中，机械能守恒（5）绳拉伸过程中，角动量也守恒（6）（5）、（6）两式消去v2，再令得（2.1）答案v2v1=0 m2m球1停止时解两球在距离2R以后，球1停止后开始加速，球2沿轨道继续向前运动。两球碰撞发生在轨道的下半部v2v1=0 m2m球1停止

9、时m2m两球碰撞解v2v1=0 m2m球1停止时从题图开始到绳长为R所经过的时间为（7）从绳长为R到2R的过程中两球走过路程为，设这过程结束时时刻为t2，它满足（8）由题意，上式可写成（9）解v2v1=0 m2m球1停止时（10）v1、v2必须满足角动量守恒方程（6），把（6）代入（8）式，又得到：（6）由（9）、（10）消去得（11）解v2v1=0 m2m球1停止时由绳长为2R到两球碰撞的过程中，整个过程为绳长由0到2R过程的逆过程，经历时间与正过程相同，因此，利用（7）和（11）式得：碰撞时刻为（11）（7）（2.2）答案非惯性系惯性力惯性系：牛顿运动定律成立的参考系非惯性系相 对惯性系的

10、 加速度非惯性系：牛顿运动定律不成立的参考系凡是牛顿定律成立的参照系称为惯性系,相对惯 性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系 牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系, 相对于惯 性系作加速运动的参照系是非惯性系惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解 非惯性系问题质量为m的物体在非惯性 系中受到的惯性力物体实际受 到的力非惯性系中牛顿运动定律写成：这时物体相对参考系向参考系加速度的反方向加速，例 如加速的汽车中的乘客。物体相对非惯 性系的加速度 惯性力1. 当物体不受任何力时：上式成为：2. 当物体受力恰好为：上式成为：表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力 ， 例如乘客要站稳需要一个指

11、向汽车加速方向的力。第25届，3解(1). 系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上 此时车厢加速度只对B有影响ABx对A滑块有：对B滑块有：设B运动的正方向沿+x，则重力加速度车厢加速度绳对A的拉力惯性力两滑块加速 度相等x绳对B的拉力对A滑块有： 对B滑块有：的表达式带入方程得把BxA x消去T 得：（1）答案结论：当车厢向上加速 时，B相对车厢的加速 度比车厢静止时要大解(2). B与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右 此时车厢加速度对A和B都有影响AB对A滑块有：惯性力，其中x其中由上面各式得A 滑块满足：（1）两物静止：xyB对B滑块有：惯性力，其中Ax桌侧面对B 的推力桌侧面对B 的摩擦

12、力其中由上面各 式得B滑 块满足：x方向：（2） y方向：（3）xyABx由（1）、（2）可得：（4）由（3）可得：（5）（4）式中f 是使B与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力 ，对于正压力N，f 的上限为N，当所需的摩擦力超过N 时， B与桌面侧面将发生滑动。即：把（4）、（5）代入上式解得：本题结束火箭问题 变质量+动量守恒1.喷射燃料使质量不断减少-质量不守恒火箭：2.燃料相对火箭以恒速率喷出设火箭在某时刻：下一时刻：（相对火箭）前一时刻动量：（相对火箭）后一时刻动量：前后动量增量：牛顿定律：F是火箭飞行时受到的总外力。例如 地球引力。如果F可忽略，方程变为火箭单位时 间内喷出的 燃料（

13、相对火箭）燃料喷射时，火箭质量减少，因此方程变为有外力时无外力时火箭方程第26届：15题意：（相对火箭）无外力：解飞船启动时燃料用尽时（1）飞船加速度的最小和最大值由火箭方程：两边积分（2）飞船末速度（3）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率t时刻t+dt时刻发动机在dt时间内使火箭+喷出的燃料的动能带来的变化发动机提供的能量转化为飞船的动能+燃料的动能！二者相减功率火箭方程（4）发射效率两边积分由（2），飞船的末 动能此为燃料全部耗 尽所做的总功发射效率由前面的结果发动机提供的功率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出 的燃料获得。（5）=MR/M0为何值时，最大求导数令导数为零 得

14、满足 4 65%本题结束连续体引力问题：万有引力为平方反比力，与静电力极其类似，在很多方面 满足同样规律。引力势：万有引力的势能表达 式为：若讨论m在M势场中的运动， 可定义引力势：则m在M引力势场中所具有的 势能为：（1）（2）该式立即变回（1）。类似地，可定义引力场强度：该式立即变回万有引力定律的 原始形式：（3）（4）式中 是由M指向m方向的单 位矢量。则m在该势场中受力 为：与静电场中的高斯定理类似， 把（3）对同心球面S作积分：MRSM为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多 个质量M1、 M2、和任意曲面以及连续体情形（5）例：质量为M的气体均匀分布于半 径为R的球形空间中。求质点

15、m在球 体内部和外部的受力和势能。m在球体内部，rR时：mR S右边=右边，有：m受力为：该力指向圆心与把所有质量M集中于球 心时等价： R第24届：5第24届：5PR/2v0RyxP在气体内部，所受引力指向圆心 ，其值为：初始时，P所具有的势能为：P在R处的势能第24届：5PR/2v0yx忽略阻力，P的机械能守恒，设在 气体边缘处P的速度为v，则有：P不逸出气体外要求P在气体边缘时由于P只受有心力作用，对力心的角动量守恒：即，代入（1）解得：（1）第一空PR/2v0yxP在x和y方向上作简谐振动， 振动方程写为：初始条件为：角频率为：（2）PR/2v0yx两方程消去t得：第二空李萨茹图：P点轨迹第23届：15伯努利关系：对不可压缩流体压强密度重力加 速度高度 坐标对本题：在水面处因此，在深度h处水喷射到水桶外部时，压强为空气中 压强，与水面处一样上式变为后面自行推导本题结束