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1、二次函数复习方法 湖北省恩施市龙凤初中 邹兴平（邮编：445003）【知识梳理、归纳要点】 1.二次函数的定义：如果y=ax+bx+c(a、b、c为常数，a0),那么y叫做x的二次函数。 2.二次函数的图象：二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线。 3.二次函数的性质： (1)抛物线y=ax+bx+c的顶点是（-，）；对称轴是x=-。 (2)当a0时，抛物线开口向上，a0时，抛物线开口向下。 (3)当a0，x=-时，y有最小值；当a0，x=-时，y有最大值。 (4)特殊抛物线的性质：抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标a0a0时，y随x的增大 而增大，所以应满足k+20;（2）根据图象，结合
2、其性质求出其对称轴和顶点坐标。解：（1）要使y=(k+2)xk2+k-4是二次函数，则 k=-3或k=2 又因为当a0时，y随x的增大而增大k+20即k-2 综合得k=2 (2)该抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）方法二、 判断图象的性质时可以根据图象直接作答。二次函数 y = ax2+bx+c的 图象特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的 特征，反之由图象的特征也能确定字母系数的符号。 例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）试确定a、b、c、b2-4ac、 2a+b、2a-b、a+b+c、a-b+c 的符号；（2）求O
3、AOB的值（3）求AMB的面积；（4）若OA=OC，求a,b,c之间的关系。（例2图)分析：由函数图象的特征，确定字母系数或与字母系数相关的代数式的值的符 号， 其顺序：首先由开口方向确定a的符号，再由对称轴的位置及a的符号确定b的符号， 由抛物线与y轴的交点的位置确定c的符号，由抛物线与y轴的交点的个数确定b 4ac的符 号；若x轴上标有+1和1，则结合函数值确定2a+b,2ab,a+b+c,ab+c的符号。解：（1）抛物线开口向下，a0,而a0又抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴的上方,c0抛物线与x轴有两个不同的交点，b2-4ac0又x=-1,a0,a+b+c0当x=-1时, y0, |
4、 x1- x2 |=AMB的面积=ABDM=(4)OA=OC, -x1=c,即x1=-c又x1是方程ax2+bx+c=0的一个根，-c是它的一个根，由方程根的定义， 知ac2-bc+c=0c0,a、b、c之间的关系式为ac-b+1=0 方法三、运用数形结合的思想方法,将点的坐标与图形的几何性质(如线段的长,图形的面 积等)有机的结合在一起,解决二次函数与几何的综合问题.例3、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数)。（1）当抛物线经过原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式。 （2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方，且是对称轴左侧的一个动点，过A作x轴 的平
5、行线，交抛物线于另一点D，再作ABX轴于B，DCX轴于C。1当BC=1时，求矩形ABCD的周长；2试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时 的A点坐标，如果不存在，请说明理由。：（1）由抛物线经过原点，得到关于n的方程，再由顶点在第四象限确定n的值。 （2）由抛物线的对称性及矩形的性质，从A点的坐标（可设出A点坐标）出发，确定矩形 ABCD的长和宽（用代数式表示），然后运用二次函数的性质求解。解：（1）将（0，0）代入y=x2+(2n-1)x+n2-1得n2-1=0n=1,y=x2+x或y=x2-3x又抛物线的顶点在第四象限，y=x2+x不合题意，舍去。所求
6、的函数关系式为y=x2-3x（2）由（1）和（2）中题设条件画出草图（如图）1由抛物线y=x2-3x=（x-）2 知其顶点为（，-），设对称轴x=与AD、x轴交于N，G。当BC=1时，AN=BG=。又N点横坐标为A点的横坐标为1。把x=1代入y=x2-3x得y=-2.故矩形ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=1，矩形ABCD周长为23=6。2设A点坐标为（a,b）,则b=a2-3a,即AB=CD=-a2+3a。AD=2AN=2（a）=32a。设矩形ABCD的周长为m,则m=2(-a2+3a)+2(3-2a)=-2a2+2a+6(0a)当a=时，m存在最大值，且m的最大值是当a=时，b=a2-3a=（）23=故A点的坐标为(,)。(例3图)通信地址：湖北省恩施市龙凤初中 邹兴平（邮编：445003） 电子信箱： 联系电话：0718 8150746
