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1、1 平面向量考点一 : 平面向量的概念及其运算( 一) 知识清单1平面向量的线性运算（1）向量的加法：）平行四边形法则（共起点）三角形法则（首尾相接）（2）向量的减法：三角形法则（共起点）（3）实数与向量的乘法：实数 与向量a的积是一个向量，记作：a规定：） a的长度： | a|=| | a| ；） a的方向：当0 时， a与a方向相同；当 0 时， a与a方向相反；当 =0 时， a=02 平面向量的坐标运算：(1) 若1122,axybxy，则1212,abxxyy(2) 若2211,yxByxA，则2121,ABxxyy(3) 若a=(x,y)，则a=(x, y) ( 二) 典型例题分析
2、例1. 已知a是以点A(3, 1) 为起点，且与向量b = ( 3,4) 平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2. 设 P是 ABC所在平面内的一点，2BCBABP ，则（）A.0PAPB B.0PCPA C.0PBPC D.0PAPBPC例3. 在ABC中， ABc ， ACb 若点D满足2BDDC ，则AD（）A2133bcB5233cbC2133bcD1233bc例4. 设)2, 1(a,)4,3(b,)2,3(c则cba)2( ) A.(15,12)B. 0 C.3 D.11变式 1. 设平面向量3,5 ,2,1ab，则2ababa baba baba b2 变式 2. 在平行四
3、边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若aAC, bBD,则AF（）A1142ab B. 2133ab C. 1124ab D. 1233ab变式 3. 在平行四边形ABCD 中， AC为一条对角线， 若(2, 4)AB，(1,3)AC,则BD（）A （ 2， 4）B （ 3， 5）C （3，5）D （2，4）考点二、向量的模、夹角相关运算（一）知识清单1数量积：规定： 00a2数量积的性质：222 )3(cos)2(0) 1(yxaaaaaaababababa或或3向量的投影：b cos= |abaR，称为向量b 在
4、a方向上的投影4数量积的坐标表示：（二）典型例题分析例5. 已知向量 a 和 b 的夹角为0120，|1,|3ab，则|5|ab变式 1： 已知向量ba、满足：1a，2b，2ba，则ba ( ) （A） 1（ B）2（C）5（D）6变式 2： 已知向量a = (2,1)， a b = 10 ，a+ b= 52 ，则b=( ) A.5 B.10 C.5 D.25 例6.向量夹角的运算若|1,|2,abcab，且 ca ，则向量 a 与 b 的夹角为 ( )（A）30（B） 60（C）120（D）150cos|baba.2121yyxxba3 变式： 设向量 a 与 b 的夹角为，(3 3)a，2
5、(1 1)ba，则cos考点三：向量共线与垂直条件（一） 知识清单1.两个向量共线定理： 向量a（a0） 与b共线?存在唯一实数， 使得b=a2.若1122,axybxy，则1221/0abx yx y若1122,axybxy，若 ab ，则02121yyxx（二） 典型例题分析 例7.向量的平行于共线已知平面向量),2(),2,1(mba，且ab，则ba32=（）A （-2 ，-4） B. （-3 ，-6 ） C.（-4 ，-8 ） D. （-5 ，-10 ）变式 1：(2008 全国卷文、理)设向量(1 2)(2 3)， ，ab，若向量ab与向量(47)，c共线，则例8.向量的垂直问题已知
6、平面向量a =（1， 3） ， b =（4， 2） ，ab与 a 垂直，则是（）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 变式 1： 关于平面向量，abc有下列三个命题： 若a b = a c，则bc若(1)(2 6)k，ab，ab，则3k非零向量a 和b满足| | |abab，则 a 与ab的夹角为60其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）变式 2： 已知向量(1, 2)a，(2,3)b若向量 c满足() / /cab，()cab，则c( )A77(,) 93B77(,) 39C77(,) 39D77(,) 93变式 3： 设 a 、 b 、 c 是单位向量，且a b 0，则acbc的最
7、小值为 ( ) A.2B.22 C.1 D.124 考点四、向量的坐标运算与函数的考查例9. 设函数 f (x) a b ，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,3sin2x), x R.（1）若 f(x) 13且x 3， 3 ，求x； （2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) (m 2) 平移后得到函数yf(x) 的图象，求实数m 、n 的值 . 例10. 已知向量a= ( cosx,sinx) ， b= ( cosx, cosx) ， c= ( 1,0) ( ) 若x = 6，求向量a、 c的夹角；( ) 当x2 ,9 8 时，求函数f (x) = 2a b+ 1
8、 的最大值。5 变式： （:广东六校联考）已知向量a(cos23x，sin23x)，b(2sin 2cosxx， )，且 x0，2（1）求ba（2）设函数baxf)(+ba，求函数)( xf的最值及相应的x的值。课后加强训练1、若向量 a ， b 满足12ab，且 a 与 b 的夹角为 3，则ab2、设)2,1(a,)4,3(b,)2,3(c则cba)2( ) A.(15,12)B. 0 C.3 D.113. （辽宁卷）平面向量a 与 b 的夹角为060，a (2,0), | b |1，则| a2b |等于（）A.3B.23C.4 D.12 6 4. （ 广 东 卷 ） 已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,) 2（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(), 0 102，求cos的值5、（山东临沂模拟） 如图，已知 ABC 中， |AC|=1, ABC=23,BAC= ,记()fABBC。（1）求()f关于 的表达式 ; （2）求()f的值域。7 6. 已知5| AC,8| AB,DBAD 115,0ABCD。（1）求|ACAB；（2）设 BAC ，且已知cos( +x) 45， 4x，求 sinx
