《2004年全国初中数学联赛》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2004年全国初中数学联赛（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、竞赛之窗2004年全国初中数学联赛第 一 试一、 选择题(每小题7分,共42分)1.已知abc0 ,且a+b+c= 0.则代数式a2 bc+b2 ca+c2 ab的值为() .(A)3(B)2(C)1(D)02.已知p、q均为质数,且满足5p2+ 3q= 59.则 以p+ 3 ,1 -p+q,2p+q- 4为边长的三角形是 ( ) .(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形3.一个三角形的三边长分别为a、a、b,另一个 三角形的三边长分别为a、b、b,其中ab.若两个三角形的最小内角相等,则a b等于( ) .(A)3 + 1 2(B)5 + 1 2(C)3 + 2 2
2、(D)5 + 2 24.过点P( - 1 ,3)作直线,使它与两坐标轴围成 的三角形面积为5.这样的直线可以作( )条.(A)4(B)3(C)2(D)15.已知b2- 4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根.则( ) .(A)ab18(B)ab18(C)ab14(D)ab14图16.如图1 ,在23的矩形 方格纸上,各个小正方形的顶 点称为格点.则以格点为顶点 的等腰直角三角形有( ) 个.(A)24(B)38(C)46(D)50二、 填空题(每小题7分,共28分)1.计 算1 1 + 2+1 2 + 3+1 3 + 4+1 2 003 +2 004= .2.已知实数a、
3、b满足a3+b3+ 3ab= 1.则a+b= .3.设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数.则m= .图24.如图2 ,ABCD是边长 为a的正方形,以D为圆 心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P.延长AP交BC于点N.则BN NC= .第 二 试 A卷一、(20分)已知方程x2- 6x- 4n2- 32n= 0的 根都是整数.求整数n的值. 二、(25分)如图3 ,梯形ABCD中,ADBC,分 别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正 方形DCHF.设线段AD的垂直平分线l交线段EF于 点M,EPl于P,FQl于Q.求证:EP=FQ.三、(25分)如图4 ,
4、已知点A(0 ,3) ,B( - 2 ,- 1) ,C(2 , - 1) .P(t,t2)为抛物线y=x2上位于 ABC内(包含边界)的一动点,BP所在直线交AC于点E,CP所在直线交AB于点F.将BF CE表示为自变 量t的函数.图5B卷一、(20分)同A卷第一题. 二、(25分)如 图5 ,梯 形ABCD 中,ADBC,分别 以两腰AB、CD为 边向两边作正方形ABGE和 正 方 形DCHF.设 线 段AD22中 等 数 学的垂直平分线l交线段EF于点M.求证:点M为EF 的中点. 三、(25分)同A卷第三题.C卷一、(20分)同A卷第一题. 二、(25分)如图6 ,梯形ABCD中,ADB
5、C,分图6别以两腰AB、CD 为边向两边作正方 形ABGE和正方形DCHF,连结EF,设 线段EF的中点为M.求证:MA=MD. 三、(25分)同A卷第三题.参 考 答 案 第 一 试一、1.A.原式=- (b+c)a bc+- (a+c)b ac+- (a+b)c ab= -a b+a c-b a+b c-c a+c b=a a+b b+c c= 3.2.B. 因为5p2+ 3q为奇数,故p、q必为一奇一偶.而p、q均为质数,故p、q中有一个为2.若q= 2 ,则p2=53 5,不合题意,舍去;若p= 2 ,则q= 13.此时,p+ 3 = 5 ,1 -p+q= 12 ,2p+q- 4 =
6、13. 因为52+ 122= 132,所以,以5、12、13为边长的 三角形为直角三角形.3.B.令x=a b,即得方程x2-x- 1 = 0.解得x=a b=5 + 1 2.4. C. 设满足条件的直线l:y=kx+b.因为P( - 1 ,3)在直线l上,所以,3 = -k+b,故b=k+ 3.因此,l为y=kx+k+ 3.l与两坐标轴的交点分别为A-k+ 3 k,0,B(0 ,k+ 3) ,故l与两坐标轴围成的三角形的面积SAOB=1 2|OA|OB| =1 2-k+3 k|k+3| =5 ,即 (k+ 3)2= 10|k| . 当k 0时,方程 即k2- 4k+ 9 = 0 ,此时方程
7、无实数解; 当k 0时,方程 即k2+ 16k+ 9 = 0 ,此时方程有两个实数解k1 ,2= - 855.因此,过点P( - 1 ,3)且与坐标轴围成的三角形 面积为5的直线有两条.5.B.因为方程有实数解,故b2- 4ac0.由题意,有-b+b2- 4ac 2a=b2- 4ac或 -b-b2- 4ac 2a=b2- 4ac.令u=b2- 4ac,得方程2au2-u+b= 0或2au2+u+b= 0.因为u=b2- 4ac是其解,所以,方程的判别式非负,即1 - 8ab0.故ab18.6.D.以格点为顶点的线段长度可取8个数值:1 , 2 ,2 , 5 ,2 2 ,3 ,10 ,13.以这
8、些线段组成的等腰直 角三角形按三边长来考虑可以分为以下4种情况:1 , 1 ,2 ;2 ,2 ,2;2 ,2 ,2 2 ;5 ,5 ,10. 下面按斜边长分类进行计数.(1)当斜边长为2时,斜边一定是小正方形的对角线,这样的线段有12条,每条这样的线段对应 着两个等腰直角三角形,共有212 = 24个.(2)当斜边长为2时,图形中长为2的线段有10条,其中有6条在23矩形的四周上,每条这样的 线段对应着一个等腰直角三角形;另有4条在23 矩形的内部,每条这样的线段对应着两个等腰直角 三角形,共有6 + 24 = 14个.322004年第4期42中 等 数 学部的一动点,因此, - 1t1. 过
9、P作MNBC,则BM=CN.于是,BF CE=BF BMCN CE=BC BC-MPBC-NP BC=BC-NP BC-MP=BC-1 2MN-tBC-1 2MN+t=2BC-MN+ 2t 2BC-MN- 2t.又BC= 4 ,MN BC=3 -t2 4,MN= 3 -t2,2BC-MN= 8 - (3 -t2) =t2+ 5 ,因此,BF CE=t2+ 2t+ 5 t2- 2t+ 53 ”( - 1t1) .B卷一、 同A卷第一题的解答. 二、 过E、F分别作l的垂线EP、FQ交l于P与Q,如图9 ,同A卷第二题的解答得EP=FQ. 又由EPFQ,知四边形EQFP是平行四边形, 其对角线互相
10、平分,所以,M是EF的中点. 三、 同A卷第三题的解答.C卷一、 同A卷第一题的解答. 二、 如图10 ,从点B、C、E、F分别作直线AD的垂线,垂足记为B0、C0、E0、F0.取线段AD的中点N,连结MN.易知AB=EA.所以,BB0=AE0.同理可证,CC0=DF0.在梯形ABCD中,ADBC,又BB0AD,CC0AD,所以,四边形BB0C0C是矩形,BB0=CC0.综上可知,AE0=DF0.又因为点N为线段AD的中点,易得E0N=NF0.由此可知MN是直角梯形EE0F0F的中位线,所以,MNE0F0,即MNAD.因此,点M在线段AD的垂直平分线上,故MA=MD. 三、 同A卷第三题的解答
11、.(2004年全国初中数学联赛组委会 提供)2004年四川省初中数学联赛一、 选择题(每小题7分,共42分)1.若x - 2 ,则y= | 1 - | 1 +x| |等于( ) .(A)2 +x 3 ”(B) - 2 -x 3 ”(C)x 3 ”(D) -x图12.如图1 ,M是 ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,且AB= 10 ,BC= 15 ,MN=3.则 ABC的 周 长 等 于( ) .(A)38 (B)39 (C)40 (D)413.植树节时,某班平均每人植树6棵.如果只由女同学完成,每人应植树15棵;如果只由男同学完成,每人应植树( )棵.(A)9(B)10 (C)12 (D)144.已知a= 2 -5 ,b= 5 - 2 ,c= 5 - 2 5.那么,a、b、c的大小顺序是( ) .(A)abc(B)acb(C)bac(D)cab5.有铅笔、 练习本、 圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3枝、 练习本7本、 圆珠笔1枝共需613元;若购铅笔4枝、 练习本10本、 圆珠笔1枝共需814元.现购铅笔、 圆珠笔各1枝,练习本1本,共需( )元.(A)214 (B)211 (C)119 (D)1186.a、b为整数,已知关于x的方程1 4x2-ax+a2+ab-a-b- 1 = 0522004年第4期
