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1、2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期数学通报在探究中体验数学乐趣吕峰波( 浙江省嘉兴市第一中学3 1 4 0 0 0 )随着新课程改革的不断深人， 在课堂教学中实 施探究性学习显得越来越重要. 研究性学习广义地 说是指学生主动探究问题的学习， 在目前的实践 中， 主要是指学生在教师的指导下， 以类似科学研 究的方式去主动获取数学知识， 启用数学知识解决 问题. 数学探究性学习中教师的关键是帮助学生发 现值得研究的问题， 提供研究的方法并作出恰当的 评价. 本文通过实例介绍笔者是怎样在数学课堂教 学中引导学生不断进行研究的.1 数学名题研究例1 ( 蒙蒂 霍尔问题) 老师手中有三个盒 子， 在
2、其中一个盒子内装了礼物， 另两个盒子是空 盒. 若同学能猜中礼物， 则可当即取走. 反之， 不可 带走礼物. 甲同学猜中间盒子有礼物， 此时， 老师从 左右两个盒子中打开一个空盒给甲看， 并表示允许 甲可以从未打开的两个盒子中再选择一次. 请同学 们给甲出出主意看， 是否要换盒子!学生甲: 剩下两个盒子， 都有可能有礼物， 换不 换一样. ( 大部分同学赞同)学生乙: 感觉上应该换， 好象换获得礼物的可 能性比 较大. ( 大部分同 学不赞同)学生丙: 剩下两个盒子， 有一个盒子中有礼物， 每个盒子中有礼物的可能性应该是一样的. ( 大部 分学生赞同)我们来做一下试验， 究竟是换获得礼物的可能
3、 性大， 还是不换获得礼物的可能性大. 当猜的次数 达到00次， 停止试验. 通过6 0 次试验的 结果统计: 猜 对次数2 2 ， 猜错次数3 8 . ( 学生惊讶于结果) .分析如果原来是猜对的， 那么交换就得不到 礼物; 如果原来是猜错的， 那么交换就得到礼物. 试 验结果表明， 猜错的可能性比猜对的可能性大， 所 以 交换比 不交换获得礼物的可能性大. 因此， 该同 学应该换盒子. 进一步提间: 猜对猜错的概率大约是多少? 引导同学继续研究.概率对学生来讲是全然陌生的概念. 如果说直 接将概念拿出 来， 详细解释， 学生也能听得懂， 但是 印象不深. 而通过上述研究过程引发学生的学习动
4、 机可以提高学生的学习兴趣与学习积极性.这个问 题是著名的“ 蒙蒂 霍尔” 问题， 上世纪 9 0 年代在美国广为流传， 也吸引了一些数学家的参 与， 历史名题往往具有深刻的内涵， 具有较好的研 究价值. 作为大部分学生来说， 这些问题都是新的， 我们在研究中通过“ 再研究” ， 强调学生自己的学习 体验. 学习体验可弥补知识转化为能力的缺口， 针 对学生理性认识和感性认识之间的差异， 引导学生 进行实验研究， 通过研究， 提高自己的感性认识， 实 际上在数学的学习中， 感性认识的作用可能更为重 要. 因为创新意识、 创新精神往往要让学生亲身参 与创造实践活动， 在体验、 内化的基础上， 逐步
5、形成 自 觉指导创造行为的个人的观念体系.2 趣味问题探秘在课堂中， 一个问题的解决可能是其他问题的 开始. 可以培养学生的开放性思维，例2 且说郭靖、 周伯通、 裘千初在黑暗的屋子 里互相搏斗， 未分胜负. 天亮后， 三人约定采用手枪 决斗， 方式是按郭、 周、 裘的顺序轮流各射一枪( 射 击目 标可自 行选择) ， 周而复始， 直至仅剩一人未被 击中( 被击中者当然立即倒下， 不能再射击了) .如果郭击中目 标的概率为0 . 3 ， 周击中目 标的 概率为1 ( 百发百中， 从不失手) ， 裘击中目 标的概率 为0 . 5 . 因为裘击中目 标的概率大于郭击中目 标的 概率， 所以若轮周射
6、击时还没有人倒下， 周一定射向裘.( 1 ) 如果郭第一枪打向裘， 郭靖获胜的概率为 多少?( 2 ) 如果郭第一枪打向周， 郭靖获胜的概率为数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期多少?分析( 1 ) ( 1 一0 . 3 ) x 0 . 3二0 . 2 1( 2 ) 0 . 5 x 0 . 3 + 0 . 5 2 x 0 . 7 x 0 . 3 + 0 . 5 3 x O . 7 2 x0 . 3+” 二0 . 5 x 0 . 3 x 1 + 0 . 5 x 0 . 7 + ( 0 . 5 x 0 . 7 ) 2 +( 0 . 5 x 0 . 7 ) 3 +分析左边 一 右边 二思考
7、1 将上式中的2 变为正整数 n ， 即xn x + yy x + 蕊x + n y一 x + n y+ 一 三 -n x + y是否仍然成立.思 考 2- - v - . f . x 刊 日 二一一甲一钾 十G x + yy x+2 yx + 2 y+二 0. 5 x 0. 3 x1 1一0 . 5 x 0 . 73 1 3y 2 x+y的范围.分析出x 2 x+yy x十2 y， x+2 y. 1 二 一 个八G x + y2-3簇. 进一步可以得到问题:2一3妻3 3 7 3 3 6 3丽x 万+ 而x 而 =1 瓦 刃 .通过上述两个小题的解答， 许多同学可能认为 郭靖第一枪打向周伯通
8、. 现在进一步提出问题， 郭 靖应采取怎样的策略( 假设郭靖可以选择不射击) ， 才能使自己获胜的概率最大.分析若郭靖选择不射击， 则周伯通击中裘千 初， 郭靖接下去射击周伯通获胜的概率可以达到 0 . 3 . 但对选择裘千初或者选择周伯通射击， 郭靖获 胜的概率都小于0 . 3 ， 所以郭靖的最佳策略是选择 不射击.还可以不断地提出新的问题: 假如周伯通击中 目 标的概率是0 . 9 又如何， 每人都可以选择不射击呢?两个小题解决后， 要引导学生作比较， 不断提 出新的问题， 本题就是通过一个有趣的结论启发学 生要学会探究， 这是研究性学习的真谛. 研究性学 习重在学习的过程、 思维方法的学
9、习和思维水平的 提高. 传统的数学学习较多是得出一个具体的数值 或证明了什么结论， 而研究性学习的“ 成果” 不一定 是“ 具体” 而“ 有形” 的制作成品. 比如研究的结果， 可能是提出一种见解、 产生一个方案、 设计一种产 品、 策划一次活动. 我们在这里就是得出了一个“ 郭 靖选择不射击” 的一个方案. 研究性学习并不是一 种知识教育， 在研究性学习的过程中， 关键是能否 对所学知识有所选择、 判断、 解释、 运用， 从而有所 发现、 有所创造. 换句话说， 研究性学习的过程本身 也就是它所追求的结果.3 陈题变式探究数学中的推广或改进结论， 是培养学生创造性 能力的有力工具， 可以将学
10、生领进知识的神秘殿堂.是否存在常数 。 ， 使得不等式x 2 x 下 v十 x+2 y感“ x + 2 y 证明你的结论.一乞一 宁沪 、乙 x十 y对任意正数x , y 恒成立? 试在课堂教学中， 将问题进行研究， 加以引申， 推 广、 改变结构等多角度的研究， 这正是研究性学习 的 本质. 新课程改革并不是选择这套或那套教材的 问 题， 而是要进行教法的改革， 真正在课堂中实施 研究性学习， 让学生会体验数学学习的乐趣， 通过 研究性学习更接近于人们的生活实际和社会实践， 因而更有利于培养学习者的分析能力.4实际问题深入例4 学校餐厅每天供应1 0 0 () 名学生用餐， 每 星期一有两种
11、配餐 A , B可供选择( 每人选一份配 餐) ， 调查资料表明: 凡是在星期一选A配餐的， 下 星期一有2 0 %改选B ， 而选 B的， 下星期一会有 3 0 %改选A . 问每星期一使用A , B配餐的人数会稳 定在多少?分析若用A n , B n 表示在第n 个星期分别选用 A或B的人数， 由题意可得注意到A n + B n =1 0 0 03-10十7-10+夸 ， 。 l A n5-一一十+ AnBn可得A n + l =冬 ， . 十 3 0 0 .L进一步可以引 导学生探求A 。 的 通项公式， 通过 研究发现 A 。 一6 0 0 是等比数列， 故可求得A n=1-2( A
12、, 一6 0 0 ) 十 6 0 0 ， 可见随着时间的推移， 例3 对任意正 数x , y ， 求证:x 2 x+YY x+2 y选A 餐的人数将越来越接近于6 0 0 ， 选 B餐的人数 将越来越接近于4 0 0 . 石 2 于.一v 宁八4 x 十 Y2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期数学通报例说对例题潜能的挖掘潘建明( 江苏省金坛市华罗庚实验学校2 1 3 2 0 0 )新课改实施几年来， 许多教师的教学理念和行 为虽然都发生了转变， 教学上也花了很大的气力， 但教学的效果总是不尽人意， 一则是考试成绩总是 不理想， 所谓“ 课改改出了一大批学困生” ， 二是升 入高中的学生后劲不
13、足， 高中教师对初中课改的责 备之声不绝于耳. 我认为其主要原因是我们在教学 中只是让学生掌握知识， 而没有使其形成能力. 然 而使其形成能力是一个厚积薄发的过程， 要求我们 在平时的教学中不失时机地去培养. 对于初中数学 来说， 特别要注意对例题潜能的挖掘. 下面是我在 教北师大版九年级下册 2 . 6 何时获得最大利润 中的一个片断， 供同仁们指正， 以便抛砖引玉.课堂上我先讲了教材中的例题1 : 某商店经营T 恤衫， 已知成批购进时单价是2 . 5 元. 根据市场调 查， 销售量与销售单价满足如下关系: 在一段时间 内， 单价是1 3 . 5 元时， 销售量是5 0 0 件， 而单价每降
14、低1 元， 就可以多售出5 0 0 件， 请你帮助分析， 销售单 价是多少元时， 可以获利最多?不难看出， 教材中的例题掩盖了事物的本来面 目， 于是我便补充了例2 去挖掘教材中例题的潜能: 某旅社有1 0 0 张普通客床， 若每床每夜收费1 0 元， 床 位可以全部租出; 若每床每夜收费提高2 元， 便减少 1 0 张床租出; 若再提高2 元， 便再减少1 0 张床租出， 依此情况变化下去， 为了投资少而获租金多， 每床 每夜提高租金多少元?【 启示: 要传授哪些知识， 培养哪些能力， 渗 透哪些数学思想和方法这是首先考虑的; 在“ 教 什么” 、 “ 怎么教” 之前先弄清“ 为什么要教”
15、; 例题 的选择要有代表性和典型性， 要与学生的知识最近 发展区相匹配; 例题对学生来说要具有现实的、 有意义的和富有挑战性I在课堂上讲到这里这个题目 可以告一段落了 但一位同学提出了问题: 假如A 1 二6 0 1 ， 则A Z 6 0 0 . 5 ， 四 舍五人应为6 0 1 ， 这样选A 餐的 人数将稳定 在6 0 1 . 这个问题的提出十分突然， 但又不无道理， 于是请同学们继续研究.一位同 学提出了自 己的 设想， 假如初始值A 1 大 于6 0 0 ， 则选A 餐的人数将稳定在6 0 1 ; 假如初始值 A 1 不大于6 0 0 ， 则选A 餐的人数将稳定在6 0 0 . 我不 再
16、给出评判， 我知道这是“ 一只会生金蛋的母鸡” ， 以后我要用这个例子引导学生得出“ 数学归纳法” . ( 有时也要留点伏笔， 同时让学生有意犹未尽的感 觉)这个问题将数学知识和思想方法寓于生活情 境中， 以其生动的情境吸引学生. 原以为问题就此 解决， 但峰回路转， 原有答案和突发的灵感产生了 强烈的冲突， 教师在这个过程中要抓住机会让大家研究( 包括留有余味让学生课外研究) ， 让学生体会 到数学是何等的有趣， 进而使学生产生强烈的探究 欲望， 也培养了学生应用数学的意识.数学课堂探究性学习的过程包括: 观察分析数 学事实， 提出有意义的数学问题， 进行研究探求适 当的数学结论或规律， 给出解释或证明. 通过这样 的 学习， 为学生引人了一种新的学习方式， 使学生 经历提出概念和结论的过程， 体验数学发现、 创造 的研究过程， 敢于向权威挑战， 形成勇于质疑和善 于反思的习惯， 培养学生发现问题， 提出问题和
