《局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 钱斌： 局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性 定理 A 设 为 生成的算子半群， P为任意实数， 下列命题等价： ( 1 )曲率维数条件 C D( p ， 。 。 ) 成立； ( 2 ) 对任意的 f ( M) ， 我们有 F ( P t f ， 厂 ) e x p ( 一 p t ) P t ( F ( f ， ， ) 。 ) ； ( 3 ) 对任意的 ， ( ) ， 我们有 ( ， 。 ) 一( ， ) 。 -1 - e x p一( - 2 p t ) P t ( F ( f ， ， ) ) ； ( 4 ) 对任意的 fc ( M) ， 我们有 ： ， l0 g ， ) 一 。 g
2、， ( ) ； (1 1 ) ( 5 ) ( 见 2 ， 定理5 3 1 ) 对任意的 t 0 ， M 和 f0 满足 ， ( ) =1 ， 则我们有 ( ， ， ) 2 ( 1 -e x p (一-2 p $ ) ) E n tp ： ( f ) ( 1 2 ) 若 P=0 ， ( 1 一e x p ( 一2 p t ) ) p由 2 代替 同时在文献 【 4 和 【 5 中， 王风雨得到了 L o g Ha r n a c k不等式及某种 Ha r n a c k不等式 ( 如 Wa n g Ha r n a c k不等式)也和曲率维数条件 CD( p ， )等价， 并且王风雨在文中指 出
3、了在某些较弱的条件下 这些 H a r n a c k不等式可 以蕴含流形边界 O M 的凸性 同时我们有如下与有 限曲率维数条件等价的泛函不等式： 定理 B( 见文献 【3 ， 定理1 1 和 【2 ， 定理5 3 ) L为扩散算子， 下面的命题等价： ( 1 ) L满足曲率维数条件 C D( O ， 礼 ) ； ( 2 ) 对任意的正函数 f ( M) 和任意的 t 0 ， P t(f 1。 g ， ) 一 ， l。 g ， ， + P t， 1。 g ( 1 一 ) ； (1 3 ) ( 3 ) 对任意的 t 1 ， t 2 0 ， 对任意的 M 和 f0 满足 f ( x ) =1 ，
4、 则我们有 孵 (， ， ) 4t (E ntp (f ) + A t2t1) ， (1_4) 其 中 A x： = 一1 一l o g 同时在文献 f6 1 中， 王风雨得到了与曲率维数条件 CD( k ， 礼 ) 等价的 Ha r n a c k不等式 最近 Gu i l l in等在文献 f7 】 中对给定的概率测度提出了 ( 整体) 传输信息不等式， 其中 ( 局部) 传输 项就是式 ( 1 2 )或式 ( 1 4 )的左端项， 同时 ( 局部) 信息项就是式 ( 1 1 )的右端项 ( 或隐藏在式 ( 1 3 )的 右端项) 根据上面的观测， 自然地我们会问是否有与曲率维数条件 C
5、D( p ， 。 。 ) 和 C D( O ， n ) 等价的局部 传输信息不等式?本文对上述 问题给出肯定的答案， 主要结果见下节的定理 1和定理 2 2 主要 结果和证 明 5 1 6 首先我们给出与曲率维数条件 C D( p ， ) 等价的传输信息不等式： 定理 1 曲率维数条件 C D( p ， O 0 ) 与如下的 “ 局部传输信息不等式” 等价 ( ， ) ( ) (21) 中国科学： 数学第 4 3卷第 5期 对任意的 t 0 ， XM， h0满足 P t h ( x ) =1均成立， 其 中 ， 是一个概率测度， 满足对任意的有界 连续函数 ，r ( h ) ： ( h ) (
6、 ) 若 P=0 ， 即非负曲率条件下， 上述表达式中的 ( 1 一e x p ( 一2 p t ) ) p用 2 t 代替 证明 必要性由定理 A 中的局部对数 S o b o l e v不等式 ( 1 1 ) 和传输不等式 ( 1 2 ) 直接可得 下面 我们来证明充分性 对具有紧支撑的光滑函数 ， ， 满足 f ：0 ， 令 ：=( 1 -t- E ， ) ， 我们易得 一lim 1 p ( ) = 即(， j， ) 由文献 f 8 ， 第 3 9 4 页】 ， 存在只依赖于函数 厂的常数 r满足 ， z 压 W2 P x $ + ( ，v， ) ， 结合局部传输信息不等式 ( 2 1
7、) 我们得 耳 ( ， ) 1 - e x p ( - 2 p t ) + r ( 1 - ex p (- 2pt)p ( ) 令 - - + 0 ， 我们有 ( ， ) ， 其中 “ s u p ” 表示对所有的 f和 g满足 g ( x ) 一厂 ( ) d x ， ) ， V x ， ， 从而 ( 2 2 ) 等价于下列的不等式 Q ) ) ( 一 ) ( 4 ( + 善 。g ( - ( ) ) + 詈 ) ， 2 其中 Q f ( x ) =i n f ， ( ) + d 。 x ， ) ) ， h=1 类似于文献 2 】 中的作法， 我们对上述不等式进行二 阶 T a y l o
8、r 展开 为此， 我们令 h =1 +印， 其中 t l g=0 ， 1 =t ， 2 =t ( 1 十 E ) ， f=b e t g ， 0 ， b + ， 其中常数 a ， b在下文 中选取 注意到 Q 1 ( 6 t 夕 ) ：6 E 一b 2 _ 2 t一2 r ( 9 ) +。 ( 。 ) ， A l + 。 ：下a 2 g 2 +。 ( 。 ) ，5 1 7 钱斌： 局部传输信息不等式和曲率维数条件的等价性 另外， 对_允分小的 ， 我们有 1 + 。 ) ( b e r g ) b c t P g +a b c t g+D ( ) - 从而 Q 厂 ( ) ( ) (匆 ) 一
9、 ， ( ) ( ) = 2 bt ( 一 (F ( 一 口 2t 9 + 0 (E 。) 同理， 不等式 ( 2 3 ) 右端转化为 4 to 2 ( t ( ) 一 t2 ( 夕 ) + Tn a 2 ) + ) 代入 ( 2 3 )得 6 ( ( + 4 ) (r ( + a btL 9 一 等 ( + n 。 。 = ( + 4 ) 即 一 ( b 2) c嘞 其中上面的等号由选取 a=一 ( g ) 2 得到 令 b =4 得 ( g 。 ) 2 t ( r ( 9 ) ) 一 2 t 2 ( g ) 。 注意到 9 =0 ， 类似于文献 【 3 ， 对上述不等式对 t 求两次导数可
10、得曲率维数条件 C D( O ， n ) 证毕 口 致谢作者感谢吴黎明教授对本文有益的讨论、 建议和 D B a k r v教授对本文的兴趣 参考文献 1 Ba k r y D Func t i o na l i n e q ua l i t i e s f o r M a r k o v s e m i g r ou ps I n：Pr oba bi l i t y M e a s u r e s o n G r o ups ：Re c e n t Di r e c t i on s a n d Tr e nd s M umba i ：Ta t a I n s t Fun d Re s ，2
11、 0 0 6，9 1 1 47 Ba kr y D，Bol l e y F，Ge nt i l I Di me ns i o n d e pe nd e nt h ype r c o n t r a c t i v i t y f o r Gau s s i a n ke r n e l s Pr o ba b The o r y Re l a t e d Fi e l d s ，2 01 2 ，1 5 4：8 4 5 8 7 4 Ba kr y D，Le do ux M A l o g ar i t hmi c S o bol e v f o r m o f t he Li - Ya u p
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15、 l e nc e o f l oc a l t r a ns po r t a t i o n- i nf o r m a t i o n i ne q ua l i t i e s a nd c ur v a t ur e - di m e ns i on i ne q ua l i t i e s OI AN B i n Ab s t r a c t I n t h i s s h o r t n o t e ，we s h o w t h a t t h e l o c a l t r a n s p o r t a t i o n - i n f o r ma t i o n i n e q u a l i t i e s a r e e q u i v a l e n t t o t h e i n fi n i t y c u r v a t u
