《2013年高中数学教学论文 利用几何画板探索轨迹的教学(1) 新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高中数学教学论文 利用几何画板探索轨迹的教学(1) 新人教版（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用几何画板探索轨迹的教学 研究性学习一得 利用几何画板探索轨迹的教学 研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题， 仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性 学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放 性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学 习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内 容强调开放性、学主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。 下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我
2、的一点体会。 教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同 学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。 问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子： 如图 1，过椭圆12222 byax()的左焦点F0ba1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。 轨迹 1轨迹 1 过原点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程。 图 1 图 2 几何画板演示：拖动主动点 A 在椭圆上转动或制作点 A 在椭圆上运动的动画按钮，跟踪 点 M，得到点 M 的轨迹是一个小圆。如图 2 “怎样求出这个小圆的方程？” 学生：按一般思路，假设弦 AB 所在直线的
3、斜率为 k，则 AB 的垂线的斜率为k1，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M 的坐标，最后消去参数 k 就得到点 M 的轨迹方程。哇！好复杂。 学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。 教师： “你为什么不动手做？” 学生： “我在想这个轨迹是一个圆，而且是以OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方 法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好 也很简单的方法： 因为OMAB ，所以|OM|2 +|F 1M|2 = |OF 1|2，若设点M的坐标为(x ，y)，点F 1的坐标为(c， 0)，则 用心 爱
4、心 专心 - 1 - x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2，即222)2()2(cycx。这就是所求的轨迹方程。 ” “啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。 马上又有一个学生说： “大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点 F1 的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点O与F1，过这两点作两条互相垂直 的直线，求交点的轨迹方程。 这当然很容易解得。 ” 教师： “很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点 所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹 很有用处。下面我们将问题改变一下： 轨迹 2
5、轨迹 2 如图 3，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程。 ” “猜猜看，点 P 的轨迹是什么？” 不少学生已经利用几何画板演示了出来： 几何画板演示：拖动主动点 A，得到点 P 的轨迹是 一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即 半焦距2c。如图 4。 “真是椭圆。 ”学生的兴趣被调动起来。 “怎样求这个小椭圆的方程？” 教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图 3 对这类问题无从下手。 教师： “根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x， y)，因此先设P点坐标为(x，y)。要建立点P的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四 个点A(x1，y1)
6、、B(x2，y2)、P、F1，其中点F1是定点，A、B、P都是动点，但点A是主动点，引 起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的 关系。这是解决问题的关键。 ” “点 P 与 A、B 两点的坐标的关系怎样？ ” 学生： “根据中点坐标公式得到221xxx，221yyy。 ” “如何将A、B、P、F1这四点的坐标联系起来？” “利用直线的斜率。 ” “直线 AB 的斜率怎样表示？” “有 2121 xxyyk，还有cxyk。 ” “如何得到 2121 xxyy ？” “” “A、B 两点在哪？满足什么方程？” 图 4 “在椭圆上。满足，。 ” 222
7、 122 12bayaxb222 222 22bayaxb“知道怎样求 2121 xxyy 了吗？” 学生很快得到下列解法(经过整理)： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，22bac，则221xxx，221yyy， 用心 爱心 专心 - 2 - 因为点 A、B 都在椭圆上，则 ， 222 122 12bayaxb222 222 22bayaxb两式相减得 ， 0)()(21212 21212yyyyaxxxxb于是有 cxykyaxb yyxxab xxyy 222121 222121， 化简得 1 )2()2()2(2222abcy ccx ， 此即为所求的轨迹方程。 教师
8、： “以上解法是很典型的。这里设点 A、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用 A、B 的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关 系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？” 一学生： “因为直线AB经过点F1，可以设直线AB的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方 程组得出A、B两点的坐标” 另一学生： “不必解出A、B的坐标，将直线AB的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A、B的横坐标x1，x2，正好可以利用韦达定理得到221xxx，221yyy，将点A、B的横坐标都表示为直线AB的斜率k的函数，消去参数k就行了。 ” 教师
9、： “很好。请同学们将解法写出来。 ” 以下是学生的另一种解法(经整理)： 解法二： 假设直线 AB 的斜率为 k， 则直线 AB 的方程为 y=k(x+c)， 代入椭圆方程12222 byax得 02)(22222222222bakcaxckaxkab设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则22222 21 2kabckaxxx， )22(2)2(21 2)()( 222222212121ckabckakcxxkcxkcxkyyy =2222kabckb ， 由得yaxbk22 ，代入 y=k(x+c)得)(22 cxyaxby， 整理得 1 )2()2()2(2222abcy
10、 ccx ， 即为所求的方程。 学生： “我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆 的形状仍然十分相似 ，也不知有没有必然的联系？” 学生： “2)2(c与2)2(abc的比例正好等于，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们的形状相同。 ” 22:ba用心 爱心 专心 - 3 - 教师： “很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。 刚才所探索的都是弦 AB 上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大 家根据这个椭圆及弦 AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。 ” 学生们立即投入到探索中。 一位学生： 轨迹 3轨
11、迹 3 “在弦 AB 上任意取一点 Q，跟踪点 Q，动画哇！怎么点 Q 的轨迹是这样的？” 不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画 板演示： 在弦 AB 上任取一点 Q， 跟踪点 Q， 拖动主动点 A， 取到如下几何图形(如图 57 所示)： 图 5 图 6 图 7 “呀！这是什么图形？” “怎么会有这样的图形？” “自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。 ” “该给这个轨迹起个什么名字呢？” 学生们发出惊叹。 拖动点 Q，发现点 Q 的轨迹也发生变化。当点 Q 接近中点 P 时，点 Q 的轨迹图形接近于中 点 P 的轨迹小椭圆(如图 6)，而当点 Q
12、接近于点 A 或 B 时，轨迹图形就接近于大椭圆(如 图 7)。 轨迹 4 轨迹 4 “老师，我发现，如果将弦AB的两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来， 则这两条直线A2A与A1B的交点C好象在椭圆的准线上。 ”另一个学生叫起来。 “老师，点 Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很 复杂。点 C 的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。 ” 教师： “试试看吧。 ” 采取常规方法“交轨法”求解： 设直线AA2、BA1的方程分别为 y = k1(xa)，y = k2(x+a)， 将AA2的方程代入椭圆方程整理得 02)(222 142 13222 1
13、2bakaxkaxbka, 此方程的两根是A、A2 的横坐标x1与a， 故可求得A(x1，y1)点坐标为 )2,(22 121222 1222 13bkakabbkaabkaA, 图 8 同理可求得B(x2，y2)点坐标为 )2,(22 222222 2222 23bkakabbkaabkaB。 用心 爱心 专心 - 4 - ，即 cxy cxy 2211由A、F1、B三点共线可得k 11BFAFk，将 A、B 两点坐标代入并整理得 a2(a+c)k 12k 2 + a2(c-a)k 1k22 + b2(a+c)k 1 + b2(c-a)k 2 = 0，将axyk1，axyk2代入上式得 0)
14、()()()()()(2222222axaxacbaxaxcabyacaycaa， 分解因式得 ， 0)()(222222baxbyaaxacaxca因为直线AA2、BA1的交点在椭圆外，所以， 0222222bayaxb故 0)()(axacaxca， 即 cax2 。 即为直线AA2、BA1的交点的轨迹方程， 而这就是椭圆的准线方程。 “同样的道理，直线A2B与A1A的交点 D 也在准线上。 ” “老师，不管 C、D 两点在左准线上怎 样运动，CF1D是一个定值90。如图 9 所 示。 ”又一个学生发现了一个结论。同学们利 用上个问题的解决方法，很快证明了出来。 教师： “很高兴看到你们能
15、探索出这么多 图 9 结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什 么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。 ” 轨迹 5 轨迹 5 “老师，如图 10 作OAB 的重心 G，其轨迹也是一个椭圆。 ”一位学生说。 (以下是学生课后提供的解答过程： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)， AB中点为M(x0，y0)，则 2102xxx， 2102yyy321xxx，321yyy，032xx ，032yy ， 由， 222 122 12bayaxb222 222 22bayaxb得yaxb yyxxab xxyy222121 222121， 此即为直线 AB 的斜率
