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1、 5 6 中学 数学 月 刊 2 0 1 4年第 5期 一个基本图形的性质及其应用 丁银杰 ( 江苏省 苏州市草桥 中学 2 1 5 0 3 1 ) 基本图形是指结构简单 ， 蕴含 的条件 和结论相 对稳定 的几何 图形 在我 们平 时的教学 中经 常会碰 到基本图形 许 多复杂 的综合 问题是 由若 干个基本 问题串联 在一起 的 ， 其 中的某个 或某几 个基 本 问题 通 常又是 围绕某 个基本 图形展开 的 ， 所 以学会 从复 杂图形 中找到基本 图形或借助原 图构造基本 图形是 解 决综合 问题 的基本技 能 本文 通过介 绍一个 大家 熟 悉的基 本图形 ， 探究它 的性质 以及
2、 在 中考 问题 中 的一些 基本应用 ， 供读者参考 1 基 本 图形及 其性质 命题 1 如 图 1 ， 点 C为线段AB上一点 ， 若 A 一 D C E一 B， 则 AC D 肛 C 证明 因 为 D C B 一 A + D， D CB= D E + E C B ， 且 A 一 Dc E，所 以 D 一 E lCB又因为 A一 B， 所 以 A CD B EC 在命题 1的条 件下 ， 当 C DE C时 ， ACD 雎 C 即 命题 2 如图 2 ， 点 C为线段AB上一点 ， 若 A 一 f X 2 E一 B， 且 C DE C， 则 AC D B EC 在命 题 1的条件下 ，
3、当点 C为线段 AB 中点时 ， 连结 D E， 可以得 到 C ED A CD B EC 即 命题 3 如 图 3 ， 若点 c为线段 AB 的中点 ， 且 A 一 D CE 一 B，则C ED AC D BEC D 图 1 图 2 图 3 证 明 由命题 1可得 AC D B EC， 所以 ：篆 又 因 为 点 c 为 线 段 A B 的 中 点 ， 所 以 A C =B C， 故 A D 一 又 因为 A ： DC E，所 以 C ED AC D， 故 C ED A CD B EC 在实 际 问题 中， 更 为 常 见 的 是 图 中的 A = D C E一 B=9 0 。 ， 如图 4
4、 、 5 、 6 所示 ， 上述命题仍成 立 2 基本 图形的应 用 2 1 基本图形的直 接应 用 例 1 ( 2 0 1 3山东东营) ( 1 )如 图 7 ( 1 ) ， 已知 ： 在 E A C B C B A C B 图 4 图 5 图 6 A BC中， B AC=9 0 。 ， A B=AC， 直线 经过点A， B D _ _ _ 直线 ， C E _ l直线 ， 垂足分别为点 D， E 求 证 ： DE B D + ( E ( 2 )如图 7 ( 2 ) ， 将 ( 1 )中的条件改为 ： 在 A BC 中， A BAC， D， A， E 三点 都在 直 线 m 上 ， 并 且
5、有 B DA一 AEC一 B ACa ， 其 中 为任意锐 角或 钝 角 请 问结论 DEB D+ C E是否成立 ?若成立 ， 请你 给出证 明； 若不成立 ， 请说 明理 由 ( 3 )拓展 与应 用 ： 如 图 7 ( 3 ) ， D， E是 D， A， E三 点 所在直线 上的两动点( D， A， E三 点互不重合 ) ， 点 F 为 B AC 平 分 线 上 的 一 点 ，且 A BF 和 A C F均为等边三角形 ， 连结 B D， C E， 若 B D A = A EC一 B AC， 试判 断 D EF 的形状 D E m D A E m D A E m ( 1) ( 2) (
6、3) 图 7 解 ( 1 )由题意 ， 得 B DA一 B AC一 C E A 一9 0 。 ， 且 A B AC， 所 以 由命 题 2 ， 可得 ADB C E A 所 以 舡 一B D， A DC E， 故 DE=AE+AD BD + C E ( 2 )由( 1 ) 利用命 题 2， 同理可得 D E=AE+AD BD + 口 ( 3 )由 ( 2 )知 ， ADB C E A，所 以 B D AE， DB A 一 C AE 因 为 ABF 和 A CF均 为 等边三角形 ， 所 以 A BF一 C AF一6 0 。 故 DB A + A BF 一 C A E + ( F，所 以 DB
7、F = F AE 又因为 B F=A F。 所 以DBF E AF 故 DF=E F， B FD一 AFE 所 以 D FE一 D F A + A FE一 D F A + B F D 一6 O 。 故 DE F为等边 三角形 例 2 ( 2 0 1 3江 苏南通) 如 图 8， 在矩形 A BC D 中， A B= ( 是大于 0的常数 ) ， B C一8 ， E为线段 B C上的动点 ( 不与 B， c重合 ) 连 结 D E， 作 E F 一 - Z 0 1 4年 第 5 期 中学数 学月 刊 5 7 D E， E F 与射线 B A 交于点 F， 设 C E ， B F一 ( 1 ) 求
8、 关于 的函数关 系式 ； F ( 2 ) 若 m z8 ， 求 z为何值 B 时 ， Y的 值 最 大 ， 最 大 值是 多 少 ? 图 8 ( 3 ) 若 一兰 ， 要使 D E F为等腰三角形 ， m的 值应 为多少? 解 ( 1 )由 题 意 ， 得 B一 DEF一 C一 9 0 。 ， 所 以 由命 题 l ， 可 得 z F B E AE C D 所 以 , B F = cBED ， 即 一 8- x ，故 一 + z ( 2 ) 当 8 时 ， y = - 专 + z 一 言 ( z 一 4 ) 。 +2 故 当 一4 时 ， 的值最大 ， 为 2 ( 3 )因为 ： ， 所 以
9、 一一 z+ 8 ，解得 一2， 3 2 ：6 因为 D EF为等腰三 角形 ， 且 D EF ：9 0 。 ， 所 以 D E E F由命 题 2， 此 时 F BE o o E C D 当 l 一2时 ， m一( 1 D一雎 一8 一z一6 ； 当 3 2 2 ： 6时 ， m C D = B E一 8 3 ：7 2 例3 ( 2 O 1 3 江 苏 淮 安 改 编) 如 图 9 ， AB 是 o0 的直 径 ， MN 与 o0相切 ， 切点为 C， 过点 A作 直线MN 的垂线 ， 垂足 为点 D， 过点 B作直线 MN 的垂 线 ， 垂足为点 E M D C E N 图 9 ( 1 )
10、求证 ： 点 C为线段 DE 的中点 ； ( 2 )若 C D一6， c o s AC D一_ o， 求 o0的半径 解 ( 1 )连结 0 C， 因为 MN 与 ( 三 ) 0相切 ， 切点 为 C， 所 以 上 MN 因为 A D _ _MN ， B E_ l _ MN， 所 以 A D B E 因为点 0为线段 AB的中点 ， 所 以点 C为线段 DE的 中点 ( 2 )因为 A B为 o0直径 ， 所 以 AC B一9 0 。 ， 故 A DC一 A CB一 B E( _7 =9 0 。 又因为 D C=C E， 所 以由命题 3可得 ADc Ac B， 所 以 一 因 为 c 。 s
11、 Ac D = 3，所 以 一 詈 - IN N C D = 6 ，所 以 AC=1 0 ， AD=8 因 为 一 ， 所 以 一 l O ，故 AB一 即 o0的半径为 点评 上述例题都 是直 接运 用基本 图形 解决 问题 例 1是在根 据命 题 2 ， 得 出 ADB o oC EA 的基础 上， 继续运 用全 等 ： 三 角形 的对应边相等 、 对应 角相等解决问题 例 2的问题 ( 1 ) 是根据命题 1 ， 得 出 结论 船 E C OE C D， 并运用相似三角形 的对应边 成 比例构造 函数关 系式问题 ( 3 )将基 本 图形特殊 化 ， 由命题 2 ， 得 出结论 F BE
12、 E C D 并在 此基 础上分类讨论 ， 求出 m 的值 例 3 需要借 助题 中的相 关 条件说 明该 图满足 基本 图形 的条 件 ， 再 由命题 3 解决 问题 此类问题 的关 键是 结合题 中条件 找 出或 证出基本图形 ， 并运用基本图形 的性质解决 问题 2 2 构 造 基本 图形解 决 问题 例 4 ( 2 0 1 3四川乐山) 如图 1 O ， 已知第一象 限 0 内的点 A在反 比例函数 一 的图象上 ， 第二象 限 厶 内的点 B在反 比例 函数 一 的图象上 ， 且 O A 上 O B， c o t AV o， 则 是的值为 ( ) A 一 3 B 一 6 C 一 D
13、一2 , g 解 作 AC上 3 2 轴于点 C， B D _ l I z轴 于点 D因为 O A j -O B， 所 以 B DO = BO A 一 AC O=9 0 。 所 以 由命 题 1 ，可 得 B DO 故 一 ) J ， | 一 D D C 图 1 0 =( ) 一 ( - s - 因 为 s 一 - ， 是 s 一L 一1 ，故 一3 ， 所 以 一一6 ， 选 A 例 5 ( 2 O 1 3福建晋江) 将矩形 O ABC置于平面 直角坐标系 中， 点 A的坐标 为( O ，4 ) ， 点 c的坐标为 ( ， O ) ( m 0 ) ， 点 D( m， 1 )在 B C上 ，
14、将矩形 O AB C 沿 AD折叠压平 ， 使点 B落在坐标平 面内 ， 设点 B的 对应点为点 E ( 1 )当 m一3时 ， 点 B的 坐标 为 ， 点 E的坐标为 ( 2 )随着 m 的变化 ， 试 探 索 ： 点 E能 否恰 好 落 在 z 轴 上 ?若 能 ， 请 求 出 m 的值 ； 若 不能 ， 请说 明理 由 图 1 1 ( 3 ) 如 图 1 1 ， 若点 E的纵坐标为 一1 ， 抛物线 Y： 衄 一4 5 a 3 2 +1 0 ( a 0且 n为常数)的顶点落在 A DE 的内部 ， 求 a的取值范围 解 ( 1 ) 点 B的坐标 为 ( 3 ， 4 ) ， 点 E 的坐标
15、 为 ( 0， 1 ) ( 2 )点 E能恰 好 落在 轴 上 理 由如 下 ： 如 图 l 2 ， 因为四边形 0 ABC为矩 形 ， 所 以 B C：O A 一4 ， 5 8 中学数学月刊 2 0 1 4年第 5期 A0C一 DC E一9 0 。 由折叠可 得 DE=B D = O A C D=4 1 = 3， 肛 D一9 0 。 在 Rt AC DE 中， 由勾股定理得 E C 一 一v j 可一2 ， 则有 O EO CC Em一2 2 因 图 1 2 为 AOC一 A ED 一 DC E一9 0 。 ， 所 以由命题 1 ， 可得 A O E AE C 。 故 面O E所 以 4 一 Tm- 2 , g解得 m一3 ( 3 ) 如图 1 3 ， 过点 E作 E F 上 A B 于点 F， E F分别 与 A D， OC交于点 G， H， 过点
