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1、卡方分布拟合检验在前面的课程中，我们已经了解了假设检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正 态时，关于其中未知参数的假设检验问题 . 然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查， 抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒 记录下来.问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？再如，某工厂制造一批骰子 ，声称它是均匀的.为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若 干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，6点的概 率都应是1/6.得到的数据能否说
2、明“骰子均匀”的 假设是可信的？问题是：K.皮尔逊这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.解决这类问题的工具是英国统计学家 K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进 的所谓 检验法.检验法是在总体X 的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法. H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 使用 对总体分布进行检验时，我们先提出原假设:检验法这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.在用 检验假设H0时，若在H0下分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法
3、估计参数，然后作检验. 检验法分布拟合的 的基本原理和步 骤如下:检验法3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, , Ak .2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ + fk等于样本容量n.标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异:统计量 的分布是什么?在理论分布 已知的条件下, npi是常量实测频数理论频数皮尔逊证明了如下定理:若
4、原假设中的理论分布F(x)已经完全给 定，那么当 时，统计量的分布渐近(k-1)个自由度的 分布.如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用相应的估计量来代替，那么当 时，统 计量 的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 分布 .为了便于理解，我们对定理作一 点直观的说明.如果根据所给的样本值 X1,X2, ,Xn算得统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 设，否则就认为差异不显著而接受原假设.得拒绝域:(不需估计参数)(估计r 个参数)查 分布表可得临界值，使得根据这个定理，对给定的显著性水平 ，皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件
5、.根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,全 世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, 统 计如下:(X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.解所求问题为: 在水平 0.05下检验假设例由最大似然估计法得X 为连续型随机变量, (见下页表)50 31 26 17 10 8 6 6 80.2788 0.2196 0.1527 0.1062 0.0739 0.0514 0.0358 0.0248 0.05684
6、5.1656 35.5752 24.7374 17.2044 11.97188.32685.79964.01769.2016例3的拟合检验计算表在 H0 为真的前提下, X 的分布函数的估计为故在水平0.05下接受H0, 认为样本服从指数分布.奥地利生物学家孟德尔进行了长 达八年之久的豌豆杂交试验, 并根据 试验结果,运用他的数理知识, 发现了 遗传的基本规律.在此，我们以遗传学上的一项伟大发现为例，说明统计方法在研究自然界和人类社会的 规律性时，是起着积极的、主动的作用.孟德尔子二代子一代黄色纯系绿色纯系他的一组观察结果为：黄70，绿27近似为2.59:1，与理论值相近.根据他的理论，子二代中, 黄、绿之比 近似为3:1，由于随机性，观察结果与3:1总有些差距，因此有必要去考察某一大小的差异是否已 构成否定3:1理论的充分根据，这就是如下的 检验问题.这里，n=70+27=97, k=2,检验孟德尔的3:1理论:提出假设H0: p1=3/4, p2=1/4理论频数为： np1=72.75, np2=24.25实测频数为70，27.由于统计量的实测值统计量自由度为 k-1=1=0.41583.841，按 =0.05，自由度为1，查 分布表得=3.841未落入否定域.故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
