房间几何声学

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1、房周几何声学陈启高一。引言几何声学是以声音在均匀介质中的直线传播的性质为根据的,当声波在 两种介质的交界面上传播时,发生了反射和拆射,这种情况完全类似于几何光学,月员从于反射定律和折射定律。声音的 这种直线传播的属性是以声线来作表示的。在房间中,由于受 到 围护房 间各表面 的影响,声线发生了反复许多次的反射,而这些反复的声线激起房间共振,这样已不是几何声学的 问题了,其 规 律应从房间波分析去考究。但是,在房间的 使用 条件上,声音是以脉冲的形式作用 于房间的,而其传播规律去几何声学的 状态不远,故以几何声学的规律去考虑房间 的传播?更有实际意义,并对房 间的 音质设计富于指导意义。本文试图

2、追随苏联建筑声学专家?卡切洛维奇之 后,从几何声学的观点去论证矩形房间中声音传播规律,并从理论上去寸?证卡氏所提出的若 干 结果。? ,“,二几何声学空间让我们构造这样的 空间,它是以矩形房间为基本单元,以房间界而为对称面反映演变而成的。在图?上 用粗线画 出的代表矩形 房间 的单元 空 间,其余空间单元是 其对 称反映而成 的影形空 间,这个空间的总体就是我 们所要建造的几何声学空间。这些空 间元 的分界面,具有房间对应表面的属性。并且两互相 平行 的房间表面,在空间是相间布置着的?例如,地面与天花,前墙与后墙,左侧墙与右侧墙等都是在空间相间布置着的。所建造的几何声学空 间显然有以下 的简单

3、性质? ? 由声源发出的任何一条声线在空 间沿直线传播直到声能消失完为止? ? 声线在图中穿过空间元分界面时受 到吸收,其能量与对应表面反射时 的吸收相等,? 声线在空间受 空气吸 收与在房间中反射 时受 空气的吸收 相等。由于所建造的 几何声学空间具有以上所指 出的属性,能够将几何声学空闻中传播的声线?直线?完全代替在房间中传播的声线?折线?,这种代替在理论研究上提供极大的方便。图?几何声学空 间在几何声学空间中,如果选取声源作坐标系统的原点?,?轴沿房间长?方 向,?轴沿了?房? ? ?宽?方向,?轴沿房间高过的路程长护等于?召蔺之不夕千三犷?方向?图?,那么,声线到空间任一点? ?,?

4、?所经? ?由于?点 必然与房间的一个点?。? ?,?,? ?相对应,这就是说,声线射 到?点就是在房间中射到?。点。因此,在?。点直按声与反射声之间的声程差?义为?。,?了?“?夕?十一?一记砂乃?一下砰或时间差?为?二弃了无瓜少而一斌。?十。、。?、?、? ? ?只。, ,式中?一声速图?儿何声学空间坐标系 设? ?米?秒,则得?,“?、厂?“十子乞干乏畜一了矿干丫千?,?毫秒?。?要建立?二,?,? ?点的坐标与其对应点的坐标?。?,沙,? ?间的关系,让我们作如下分析?在几何空间的体元中共有?“二?种类型?即基本型一 种,面 对 称型三种?线对称型三 种?点对称型一种?图?根据几何关系

5、,容易求得各类型的坐标关系式,现将其结果例举在表?中。各类型象空 间与房间对应点的坐标关系表?表? ? 二坐标关系 类型特征?一? ?、?一?一?,?一?一?轴?轴?轴基本型为房间全等形? 乙?十?似?儿?,?,?。?,?、?,?,?,取一切正负整数及?。, , , , , , , , , “户? ? ? ? ? ? ? 毕毕形形沪沪沪 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 尸尸尸?图?种类型的对称体元?基本 型一种?面对称三种?线对称三种?点对 称一种。从表?所列的结果 表明?象空间中点与房间中的 对应点的坐标关系式归纳成两种类型,即?平移型?对称型。其公式是?、?, ?火。一?,?平移型?对

6、称型? ?,?式中,表乙,、代表?,?,?代表?,?,?。代表?,?,? ?、代表表义。,?。,?。?、代?,?。在两个类型 的坐标关系中的 整数?,其意义表示 声线穿过尹壁面的数目?对 于平移型坐标,穿过壁面之数目为?, ,而对对 称型坐标穿过少面的数目为?十?。同时,穿过对着的璧面数目都是?、。三。声较的声能密度声 线在儿何声学空 间传播时,受 到连续 的空气吸 收作用和间断的 壁面 吸收作用,同时,随距声源的 距离的平方成反比变化,因此,在声学空 间中某点上 的声线的声能密度?按下式计算?尽。尽?,尽?月护了? ?,?, 声?矛?上口尸廿?山?、?兀?而对于平移型坐标有和对于对称型坐标有

7、?犷,桃二?, ,? ,不二乙,?,?溉,?,式中?点声源功率?。空气吸声系数,米一?声速。尽表面的反射系数。?是 由点声 源到象空 间的任意点的声线长,犷与?,二,。,的关系通过? ,或? ?作限制。根据?遵?得到如下关系?了? ?对干平移型?义?。? ?二生?对 于对 称型?尹? 考?、 ?尹八?二? ,一一?、将?式代入?式中而得?兀?一粉? “?尽?尽“?瓦?尽?尽? 产?刀?尽?尽?产?一?一厂一刀一了一尽工尽, ?尽?口。广尽?,月?产? ? 式中对于平移型坐标?,? ,一矗?”? ,?香?,? 厄万对于对称型坐标?十?,?。一? ?刀十?,?二?,?一?因此,数?,?产,?,?,

8、?,?是随象空间的性质 和房间的点的位置定而定的量。设成成,成成?成成?。,? ? !?试可写成?尽桑?兀?。?月,尽? ?不泣了?尽?尽?产?万?一?尽。月? 产?当采用极坐标系统?甲,?召?,in甲,inoz=犷 e o go:一群。一(嘿l I, 4 ;二。i夕+绝丫2i,i“(8)(9)(10)77夕l|谧 t.时,并利用关 系二=e“, (8)式 能够写 成:_尸尽 4兀产“ee一打o千月泞 )犷 r、产 愁/ 门汀夕OC+不哆:月3,2H式中,、3-一叫空间的等效 空气吸收系数, (米)一,显然有?3一 (工宜 i鲁会一,n“+喂2一,n,n“+黑亡一“)“,此式可见,空间的等效

9、空气吸声系数,是随声线传播的方向不同丽不同的。四.房间的声能密度当声脉冲作用于房间时,最初时刻,房间中的声能密度与声线的 声能密度无异,和在房间中有吸声很大的表面存在时,房间的声能紧度主 要决定于 穿过吸声系数小声线,此时,也和声线的声能密度无异。但在通常 的房间中,在声脉中作用一段 时 间以后,从各方面入射 到房间某点的声线是如此之多,以致两条 声线同时 到达 或 几乎同时到达。此 时开始,房间的声能密度已经不同于声线 的声 能密度。此 时,房间已经开始了扩散声场状态。下面让我们刻绘 上述现象。设想以声源为中心任一长度犷作半径画一球,口L做声球,声球面是在几何声学 空间中声线同时到达的面,包

10、括在声球中每一空间单元都向房间一定点发送过一条 声 线。因此,这些声线的数目就等于声球中空间 元的数目。声球面的方程是r“=xZ+夕2+22( 12)式中(x,y,Z )是球面上 的点的坐标。但 由于房间是 矩 形 的,在声球中对应于房间较长的 边有较少的空间元,而短边却分配有较多的空间元。因而在计算空间元数目的空间里,声球被压扁成一椭球,其方程是:(毒 “(言 “(二H(13)这个椭球的体积。就等于声球中空间元 的数目N。即(14)尸一 V 兀左几3r3LBH兀4一 3“=静(一全 )言(食)式中V=LBH房间的体积。从(1 4 )试可见,随着半径r增大,发射到房间某定点的声线 的数目将增多

11、,但这只是表示声线的累计数。为了计算在半径r与r十d r之间的 空 间元的数目dN,由公式 (1 4)微分而得:dN=4二r:彗- rV(15)要使此dN为同时存在房间中趋向于谋点定点的声线的数目,必须取 d r等于声 脉冲作用的时 间中声线传播的 距离,因为元音发音的时间;约为1 00毫秒(3,故d l .=“,二 3 4。,故(15)式写成亡l_V4 2 7土6)尸一.V dN=4兀e ;2根据(15 )式,由于 c t= ;,则得:一1了C rVdN_ 4军4r。丫VdNe三4兀 才;(1 7),=一工一1/而N70d0了(1 8)式中t声线 由声源发出后所历时 间。从(16 )式得见,

12、声球半球越大,房间中存在趋向于某定点的声线就越多,而且愈密,并且这些声线都要在云:二10 0毫秒以内从不同方向通过某定点。因之;声线数目愈多,在房间中形 成 的声 场愈扩散。当声线数目等于10。,此时,平 均每一毫秒 将有一条线到达 房中一点,即声趋于房中一点的频率等于1000赫,因此,让我们相 约的认为从 此 时开始,声场已进入扩散阶段,而前一阶段所经过 的 时间容易按(18 )式算出T,=0. 001 4 2侧V(秒)(19)根据此 式计算当房 间客积V=5。1000 0米“时,得TI=。.1一0.1 43秒这个 数值和A.H.卡切洛维奇对于小房间取T,=0.1 2秒和大房间取T,“0.

13、1 5秒的结果相符合”。这样一来,声脉冲在房间中的状态分成 两个阶段,前一阶段 叫声线状态,后一阶段叫扩散状态。在声线状态中房间声能密度采用最强的一条声线加以计算,而在扩散状态采取统计计算。五.声接状态的音量衰减计算在声线衰减状 态中,音量衰减计算可根据(15 )式考虑。对于房间中任意点M。 (a, b,“),直接声产生的声能密度:E。P4兀r0 Zc(2 0)r。=亿a乞干b干云乏对于 和 M。点对应的象空间的点M(二,y, z ),声线的声能密度为Er二一P4兀r。2亡e111侧2,尸 上I月月 I。刀,月;,尽:尽2,尽。口。, (21)以(20)式去除(2 1式并取对数而得晋量衰减量L

14、(分贝);:一:。 I:犷。一;.3 4。 (,一,。 )+;。 , g刀:甲 rl由于(;一;。)。比起来有可以忽略地小,故(22 )式写成刀,刀:刀:(22)乙=2 0 19犷。+101 9刀;犷如果不 问个别 的点,而是采取统计考虑:声线阶段终了时的声球半径,即刀,刀:刀:刀:刀3, (23)选取:。为体积等于 房间容积的 声球半径,;为r。=了 纂一0.62“ v(24):eT,=0. 48 6寸F那 么将(24 )和 (5 )代入 式中而得:(25)20,_,._。,。乙。艺立 为 =一。lgV+IU19户IP匕州朴I月I刀;,刀:刀2,刀。,刀:+2.2(26)为了计算上式中等号右

15、边的第二项,需要考虑室内吸声材料的具体布置因素。在声线状态阶段之末的声球上,可以找到穿过吸声较小且入射到地板上来之声线,并利用这样的声线来计算第二项。这些声线可能是经两侧墙的反射;或 经墙与天花 的反射;亦或经天花与后墙的反射。对于两侧墙的反射的情况,刀2=月2尹二刀。:. B,和按(25 )m+m,、一毛二巫少了f刀力则公式 2 6可写成L=一价gy+4.8已毛“刃g刀。:.B+2.:bU(2 7)对于墙与天花反射的情况,刀。之刀二 :。则。+m,、鱼夔丝亿犷,。二1廿则公式(26)可写成:L二一警 gV+ 86丢“g刀一+,。“”一十22。(28)对于天花及后墙各反射一次,公式 (26 )可写成乙一警I gy+”1 9刀+“ g刀一十2 2(29)对于吸声材料布置合理的房间,在(2 7)(28 )和(29)式中的最后的两项,可以略去不计,这样便得到形式简单的近似公式;,了_ 20._,Z么 =一万一igyb(30)对于消声较利害的大房间,可采用后墙的一次反射来计算。此 时(26 )式写成20._二,.。.。 必 =一亏g“+IUlg刀“