概念性线性水库流域汇流模型的改进及应用

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1、1006 - 8139(2001)04 - 07 - 5 概念性线性水库流域汇流模型的改进及应用胡彩虹1 赵会强2 祁文军3(1山西大学师范学院 2河北省水利厅 3山西省水利厅)文摘:本文根据流域蓄泄关系和霍顿地貌律,建立了基于概念性线性水库原理的流域汇流模型,以三级为例推导了流域的数学模型,并对模型进行了讨论和改进,用河北尚义流域(半干旱地区)和福建古田溪梯级电站流域(湿润地区)对模型进行了检验,结果表明:地貌瞬时单位线计算的洪峰流量是比较满意的。关键词:瞬时单位线; 概念性线性水库; 流域汇流模型1 引言任何一个天然河网,都是由大小不等、 各种各样 的河流组成的,每条河流都有自己的特征,如

2、汇水范 围等,每条较大的河流都是由若干条较小的河流汇集而成,而小河汇合成大河并不是一个简单相加过 程。大小河道的地貌特征有着明显的区别,其汇流特征也随之而异,对于一个流域,按照斯特拉勒河流分级原则,把流域分成若干子单元,每个子单元可用 一个坡地线性水库和一个河流线性水库串联组成, 各个子单元再按河系分布加以串并联,从而构成概念性线性水库汇流模型。2 基本原理 流域汇流划分为河网汇流和坡地汇流两个部 分,河网是各级河流组成的网络,坡地是汇入各级河流的那部分汇水面积,采用strahler河流分级原则, 有河源的河流为一级河流,两个同级的河流汇合成 为高一级河流,河系中最高级的河流就是河流级别。 令

3、Ri(1i )表示河流状态,Si(1i )表示坡地状态,根据雨滴状态转移概率,其状态转移规 则如下:(1) SiRi(1i )(2) RiRj(j i ,i ,j = 1 ,2 )(3) R+ 1为流域出口断面,即收集状态。 令Ni为i级河流数,Lij为第i级河流中的第j 条河流的长度,(j = 1 ,2N ,i = 1 ,2 ) ,则i级河流的平均长度Li为:Li=1 NiNij = 1Lij(1)令Aij为汇集到第i级河流的第j块汇水面积,(i= 1 ,2 ,j = 1 ,2Ni) ,则i级河流的平均汇水面积Ai为:Ai=1 NiNij = 1Aij(2)3 流域汇流模型降落在流域各处的水

4、质点可取不同路径流达出 口断面,鉴于其运动的随机性,引用无后效马尔可夫转移概率来描述它的运动,状态转移概率表示从一个状态转移到另一状态的概率,初始概率等于该状态发生的概率乘以该状态流域平均面积,路径概率是指雨滴在所有路径中某一特定路径汇集到流域出 口的概率,它等于一个初始概率与转移概率之积。本文选用流域等待时间的概率密度函数为指数型,即fi(t) =1 kiexp ( - t/ ki) ,以3级流域为例推导地貌汇流模型,其它级别流域推导类似。同时假定同级的单元坡地线性水库或同级河流线性水库具有相同的蓄泄系数。由水质点在流域中的转移规则,水质点在i级 流域内可能沿着4种路径形式流向出口断面,具体

5、路径形式及路径概率如下:路径路径形式路径概率C1S1R1R2R3R41(0)P12P23P34C2S1R1R3R41(0)P13P34C3S2R2R3R42(0)P23P34C4S3R3R43(0)P34当三级流域的入流为均匀分布的瞬时脉冲静雨 (t)时,其出口断面的流量过程即为三级流域的瞬时单位线。 根据概念性线性水库及系统传递函数的性质,建立每一路径的传递函数,如路径1 ,其汇流模型如 下:7第4期(总第140期) 山西水利科技 No. 4(Total No. 140)2001年11月 SHANXI HYDROTECHNICS Nov. 2001 1(t)KS1KR1KR2KR3h1(t)

6、这是一个4级线性水库的子系统,它的出流h1(t)为经过4个水库调蓄后的出流,传递函数的拉氏逆变换即为系统冲激响应函数,对应流域即为 瞬时单位线。 一般用下述方程表示线性水库的输入/输出关系:dS dt= I - Q(3)S = KQ(4)联解上述两式得: KdQ dt+ Q = I(5)求上式的拉氏变换得传递函数: Hs=Q(s) I(s)=1 1 + Ks(6)拉氏逆变换得:h(t) =1 Kexp ( - t/ K)(7)(7)式即为线性水库瞬时单位线。当系统由若干子系统串联而成时,大系统的传递函数为各子系统传递函数之积,因此对路径1的4个串联水库系统的传递函数为:H ( s) =1 1

7、+ KS1S1 1 + KR1S1 1 + KR2S1 1 + KR3S(8)由于KS1、KR1、KR2、KR3均不相同,满足海维 赛展开定理条件,则求其拉氏逆变换,可得到相应的流域响应函数。即:h(t) =1(0) P12KS21exp ( - t/ KS1)( KS1- KR1) ( KS1- KR2) ( KS1- KR3)+KR21exp ( - t/ KR1)( KR1- KS1) ( KR1- KR2) ( KR1- KR3)+KR22exp ( - t/ KR2)( KR2- KS1) ( KR2- KR1) ( KR2- KR3)+KR23exp ( - t/ KR3)( KR

8、3- KS1) ( KR3- KR1) ( KR3- KR2)(9)同理,其他每个路径也都是几个线性水库的串联,又由于各路径相互独立,所以总出流过程线就是 各路径出流过程线的相应时间代数和,分别求各路 径的相应函数,则得到三级流域概念性线性水库地貌瞬时单位线。一般情况下,由于河网汇流时间远大于坡地汇流时间,坡地线性水库的汇流作用可以 忽略不计,则经简化后的三级流域地貌瞬时单位线 为:h3(t) =1(0) P12KR1exp ( - t/ KR1)( KR1- KR2) ( KR1- KR3)+KR2exp ( - t/ KR2)( KR2- KR1) ( KR2- KR3)+KR3exp (

9、 - t/ KR3)( KR3- KR1) ( KR3- KR2)+1(0) P13exp ( - t/ KR1) - exp ( - t/ KR3) KR1- KR3+2(0)exp ( - t/ KR2) - exp ( - t/ KR3) KR2- KR3+3(0)exp ( - t/ KR3) KR3(10)式中, KRi(1i3)为i级单元河流线性水库 平均蓄泄系数,KSi(1i3)为i级单元坡地线性水 库平均蓄泄系数,Pij为状态转移概率,汇入j级河流 的i级河流数与i级河流总数的比值,i(0)为初始 概率(1i3) ,i级单元总面积占全流域面积的比 值,根据Horton地貌理论和

10、Smart内节点定理, i(0)、Pij也可用河流地貌律分叉比RB、 面积比RA的函数形式计算。4 问题的提出与改进确定地貌瞬时单位线涉及到河网结构的定量描 述、 路径概率的计算和等待时间概率密度函数的确 定等三个问题,由于河网结构的定量描述、 路径概率 的计算已经有很成熟的研究,等待时间概率密度函 数的确定便成为关键,其实质是如何确定水质点流速的概率密度函数,目前仍无法从理论上导出液体 质点运动速度的概率密度函数,只能采用单参数型函数作为等待时间概率密度函数。由得到的单位线 可以发现,计算式最末一项是由单一第三级河流线性水库组成,由于假设的等待时间函数fB(t) =1 KRi exp( -

11、t/ KRi) ,在t = 0时,取最大值,所以得到的地 貌瞬时单位线初始值不为0 ,这与单位线的定义相 矛盾,这说明了线性水库型等时间概率密度函数的局限性。 为解决这一问题,RodriguezIturbe和Valdes 在提出地貌瞬时单位线的同时,曾给出了一种解决 方法,即把最高一级的河流分解为两个线性水库的 串联,并假定每个线性水库的蓄泄系数为原来线性水库的1/ 2。这种方法虽然可以使单位线的起始值8第4期(总第140期) 2001年11月胡彩虹:概念性线性水库流域汇流模型的改进及应用 No. 4(Total No. 140)Nov. 2001为0 ,但这样处理不仅给计算上带来了许多麻烦,

12、更 重要的是由于最高级河流最后由这种方法得到的等待时间概率密度函数的改变,其实是对单参指数型等待时间概率密度函数的一种否定,本文提出在最 高级的河流上增加一坡地线性水库,不仅可解决单位线初值不为0的局限,且不会产生对等待时间概 率密度函数假定的麻烦,对一般坡地及河流线性水库而言,它们的线性水库蓄泄系数应遵循以下规律:(1)坡地线性水库的蓄泄系数小于河流线性水库的蓄泄系数。(2)各级线性水库(坡地或河流)级别越高,线性水库蓄泄系数也越大,写成数学式即为:KSii)以三级为例,则KS1 KS2 KS3 KR1 KR2 KR3。由于坡地线性水库蓄泄系数较小,在KSi中,最高级坡地线性水库的蓄泄系数与

13、最低级的河流线性水库蓄泄系数最为接近,为方便使用,令: KS3=KR1,而忽略其它坡地的蓄泄系数,这就是说把最高级线性坡地视为河流线性水库,并与最低级河流线性水库具有相同的蓄泄系数,由上面分析可知,它们 在数值上最为接近,因而三级流域地貌瞬时单位线 模型最末项变为:3(0)exp ( - t/ KS3) KS3- KR3+exp ( - t/ KR3) KR3- KS3=3(0)exp ( - t/ KR3) - exp ( - t/ KR1) KR3- KR1(11)5 流域汇流模型的应用概念性线性水库流域汇流模型,不仅充分考虑 了河系的分布状况,而且也可以很方便地处理降雨分布不均匀情况下的

14、流域汇流计算。 上文建立的汇流模型,关键在于确定动力参数,即河流线性水库的蓄泄系数KRi,也即各级河流的平均等待时间,一般假定河流线性水库的调蓄系数 正比于河流的长度L ,反比于流域河流洪水波平均流速Vb,即: KRi=Li Vb(i = 1 ,2 ) ,这样就将各级河流平均等待时间的问题转化为求解流域的河流洪 水波速问题,根据实测降雨流量过程资料及地貌资料,不难求出。5. 1 模型在尚义流域的应用 尚义流域位于河北省张家口市西北约75km处,是海河流域永定河水系上游支流鸳鸯河的一支 流,集水面积1815k?,本流域属半干旱地区,流域内雨量站有8处,按照河流分级原则,流域为三级, 见图1 ,产

15、流计算用蓄满 超渗兼容的产流模型。图1 尚义流域示意图9次洪水的计算及实测洪峰见表1 ,820805次 洪水的计算和实测流量过程见图2。表1 尚义流域9次洪水计算结果表洪号实测洪峰 (?/ s)计算洪峰 (?/ s)绝对误差 (?/ s)相对误差 ( %) 79071744. 7946. 131. 342. 99 79081055. 8086. 1630. 3654. 30 81081245. 6749. 674. 008. 67 8208058. 579. 621. 0512. 25 8308142. 993. 660. 6722. 40 83082435. 9332. 81- 3. 12- 8. 68 8408268. 877. 92- 0. 95- 10. 71 85070250. 1343. 34- 6. 79- 13. 54 85080169. 5066. 72- 2. 78- 4. 00图2 尚义流域820805计算与实测流量过程线图 在9次洪水计算中,有两次相对误差大于20 % ,其中一次绝对误差仅为0167?/ s ,而790810洪水因降雨分布极不均匀,产流处理不易精确,因此 9第4期(总第140期) 山西水利科技 No. 4(Total No. 140)2001年11月 SHANXI HYDROTECHNICS Nov. 2001 上述结果