《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第23章《组合计数》竞赛专题复习含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第23章《组合计数》竞赛专题复习含答案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第四篇第四篇组组 合合第第 23 章章 组合计数组合计数23.1加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理23.1.1 有 800 名乒乓球选手参加淘汰赛，需要进行多少场比赛才能决出冠军？ 解析由于每场比赛淘汰一名选手，即比赛的场数与被淘汰的选手人数是相等的要决 出冠军，需淘汰 799 名选手，所以需要进行 799 场比赛23.1.2一个小朋友有 8 块相同的巧克力（即不计顺序） ，他每天至少吃一块，直至吃完， 问共有多少种不同的吃巧克力的方案？ 解析将 8 块巧克力排成一行如果第一天吃 2 块，第二天吃 1 块那么，就在第 2 块后面画一条竖线，这后面的第 1
2、 块的后面（即第 3 块的后面）画一条竖线 这样，吃巧克力的方案就与在 8 块巧克力的 7 个空隙里添加竖线对应起来 由于每个空隙里加以加 1 根竖线，也可以不加，所以，由乘法原理知，加竖线的方法共有（种） 72222128 从而吃巧克力的方案也就有 128 种23.1.3有多少个有序整数对(,)满足？xy225xy解析我们把这个问题分成 6 种情况：，1，2，522xyi0i 当时， （，）（0，0） ；220xyxy当时，(,)=(0,)，(0,)，(1,0)，(,0)；221xyxy1y1当时，(,)=(,)，(,1)，(1,)，(1,1)；222xyxy1111当时，不可能；223xy
3、当时，不可能；223xy当时，(,)=(0,)，(0,2)，(,0)，(2,0)；224xyxy22当时，(,)=(,)，(,1)，(,)，(,2)，( ,)，(1,2)，(2,)，225xyxy212121121(2,1) 由加法原理知，满足题设的有序数对共有 （个） 1440482123.1.4利用数字 、2、3、4、5 共可组成1 （1）多少个数字不重复的三位数？ （2）多少个数字不重复的三位偶数？ （3）多少个数字不重复的偶数？ 解析（1）百位数有 5 种选择；十位数有 4 种选择；个位数有 3 种选择，所以共有 个数字不重复的三位数54360 （2）先选个位数，共有两种选择：2 或
4、4在个位数选定后，十位数还有 4 种选择；百位2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2数有 3 种选择所以共有个数字不重复的三位偶数24324 （3）分为 5 种情况： 一位偶数，只有两个：2 和 4 二位偶数，共有 8 个：12，32，42，52，14，24，34，54 三位偶数由上述（2）中求得的为 24 个四位偶数共有：个括号外面的 2 表示个位数有 2 种选择（2 或 4） 243248 五位偶数共有：个2432 148 由加法原理，偶数的个数共有 （个） 2824484813023.1.5从 1 到 300 的正整数中，完全不不含有数字 3 的有多少个？ 解析 1将符合要求的正整数分为
5、以下三类： （1）一位数，有 1、2、4、5、6、7、8、9 共 8 个6、7、8、9 八种情形，在个位上出现 的数字除以上八个数字外还有 0，共 9 种情形，故二位数有个8 972 （3）三位数，在百位上出现的数字有 1，2 两种情形，在十位、个位上出现的数字则有 0、1、2、4、5、6、7、8、9 九种情形，故三位数有个299162 因此，从 1 到 300 的正整数中完全不含数字 3 的共有个872162242 解析 2将 0 到 299 的整数都看成三位数，其中数字 3 不出现的，百位数字可以是 0、1 或 2 三种情况，十位数字与个位数均有九种，因此除去 0 共有个3 991242
6、23.1.6一个班级有 30 名学生 （1）从中选出 2 人，一个担任班长，一个担任副班长，共有多少种不同的选法？ （2）从中选 2 个人去参加数学竞赛，有多少种不同的选法？ 解析（1）从 30 个人中选 1 个人担任班长，有 30 种选法，再从剩下的 29 个人中选 1 个人担任副班长，有 29 种选法，则由乘法原理知，共有不同的选法为（种）3029870 （2）从 30 个人中选两人有种选法，但由于选出甲、乙去比赛和选出乙、甲去比赛3029是相同的情况，因此不同的选法共有（种） 3029435223.1.7在小于 10 000 的正整数中，含有数字 1 的数有多少个？ 解析不妨将 1 至
7、9999 的正整数均看作四位数，凡位数不到四位的正整数在前面补 0， 使之成为四位数 先求不含数字 1 的这样的四位数共有几个，即有 0、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字 所组成的四位数的个数，由于每一位都有 9 种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字 组成的四位数个数为 99996561 其中包括了一个 0000，这不是正整数，所以比小的不含数字 1 的正整数有个，100006560 于是，小于 10 000 且含有数字 1 的正整数共有个99996560343923.1.8在 1 到 9999 中，有多少个整数与 4567 相加，至少在一个数位中发生进位？ 解析将 0 到 99
8、99 这 10 000 个整数都看成四位数，即位数不中四位的，在左面添 0 补 足四位 考虑这些四位数中，有多少个在与 4567 相加时不发生进位 这样的数，千位数字有 0、1、2、3、4、5 这 6 种可能；百位数字有 0、1、2、3、4 这 5 种 可能；十位数字有 0、1、2、3 这 4 种可能；个位数字有 0、1、2 这 3 种可能所以这样的2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3数共有 （个） 6543360 其中包括 0 所以，在 到 9999 中，与 4567 相加产生进位的整数有1 （个） 10000360964023.1.19在 1 到 1999 这 1999 个自然数中，取
9、4 的倍数与 7 的倍数各一个相加，一共可 得到多少个不同的和 解析在 1 到 1999 这 1999 个自然数中，有 4 的倍数 499 个，它们是 4，8，12，1992，1996；有 7 的倍数 285 个，它们是 7，14，21，1988，1995可得到的和最小为，最大为，7411199619953991 介于 11 至 3991 之间的自然数，有一部分得不到 例如：12、13、14、16、17、20、21、24、28 不能得到，下面能依次得到 ，2921830141631724 ，322843321 12341420 ，3572836288 反过来，不能得到的数还有 3990、398
10、9、3988、3986、3985、 3982、3981、3978、3974 不能得到的数共有（个） 9918 所以可得到的不同的和共有（个） 3991 11 11839632.3.1.10600 有多少个不同的正约数（包括 1 和 600）? 解析将 600 质因数分解，有312600235 一个正整数是 600 的约数的弃要条件是具有的形式，其中、是整数mm235abcabc 且，03a01b02c由于有种选择：0、1、2、3；有种选择：0、1；有种选a431b21 1 c321择：0、1、2，故由乘法原理知，这样的有m （个） 42324 评注一般地，若一个正整数的质因数分解式为n12 1
11、2raaa rnp pp其中，是互不相同的质数，是正整数，则的不同正约数1p2prp12rn的个数为 12111r23.1.11在 20000 与 70000 之间，有多少个数字不重复的偶数？解析设是满足要求的偶数，那么只能取 2、3、4、5、6， 只能取abcdeae0、2、4、6、8（1）若取 2、4、6 之一，即有 3 种选法，此时 有种选法，、分别aae451bcd2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4有 8、7、6 种选法，由乘法原理知，不重复的偶数有 （个） 34 8764032 （2）若取 3、5 之一，则有 2 种选法， 有 5 种选法，、分别有 8、7、6 种选aaebcd
12、法，由乘法原理知，此时不重复的偶数有 （个） 25 8763360 最后，由加法原理知，满足题意的偶数共有 （个） 403233607392 评注在很多计数问题中，都是加法原理和乘法原理结合在一起用的23.1.12求至少出现一个数字 6，而且是 3 的倍数的五位数的个数解析设满足要求的五位数为由于 3 整除的充要条件是12345a a a a a12345a a a a a，所以分情况讨论如下：123453 aaaaa（1）从左向右看，若最后一个 6 出现在第 5 位，即，则、可以从56a 2a3a4a0，1，2，9 这 10 个数字中任取 1 个，为了保证，只有 3 种可123453 aaa
13、aa1a能（例如，则只能取 2，5，8 之一，等等） ，由乘法原理，23451 mod3aaaa1a五位数中最后一位是 6，且是 3 的倍数的数有 （个） 3 10 10 103000（2）从左向右看，最后一个 6 出现在第 4 位，即，于是只有 9 种可能（因为46a 5a） ，、各有 10 种可能，为了保证，只有 3 种可能，由乘56a 2a3a123453 aaaaa1a法原理，这一类的五位数有 （个） 3 9 10 102700 （3）从左向右看，最后一个 6 出现在第 3 位，即，则、均有 9 种可能，有36a 4a5a2a10 种可能，有 3 种可能，这类五位数有1a（个） 3 9
14、9 102430 （4）从左向右看，最后一个 6 出现在第 2 位，则、均有 9 种可能，26a 3a4a5a有 3 种可能，所以这类五位数有1a（个） 3 9992187 （5）从左向右看，最后一个 6 出现在第 1 位，即，则、均有 9 种可能，为16a 2a3a4a了保证，只有 3 种可能，从而这类五位数有123453 aaaaa5a（个） 3 9992187 最后，由加法原理知，五位数中至少出现一个 6，且是 3 的倍数的数有 （个） 30002700243021872187125042018 年初中数学竞赛辅导专题讲义523.1.13将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一
15、个数是奇数，且使得其中任 意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，问：满足要求的排法有多少种？解析设，是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列1a2a3a4a5a首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，1a2a3a4a与已知条件矛盾又如果是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两13iai1ia2ia个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下 5 种情形满足条件：1a2a3a4a5a2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，123.1.14由 35 个单位小正方形组成的长方形中，如图所示，有两个“*” ，问包含两个 “*”在内的小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？*解析含两个“*”的矩形，与第二、三两行有公共部分它们
