《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第15章《问题与面积方法》竞赛专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第15章《问题与面积方法》竞赛专题复习（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 15 章章 面面积问题积问题与面与面积积方法方法15.1.1如图， （b）、 （c）、 （d）、 （e）中直线与直线交于点，则：（a）中有；（b）、APBCDABDACDSBD CDS（c）、 （d）、 （e）中有.ABPACPSBD CDS(a)CDBADPACBPDCBAPCDBAPCD BA(e)(d)(c)(b)解析 只要作相应的高，并运用比例即可.15.1.2若中有一点，延长、，分别交对边于点、，则ABCPAPBPCPDEF.1PDPEPF DAEBFCCDBPEFA解析 如图，易证，三式相加即得结论.BPCABCSPD DASAPCABC
2、SPE EBSAPBABCSPF FCS2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义215.1.3求证：若点、是一直线上依次的任意四个不同点，点是直线外一点，ABCDP则有.sinsin sinsinAPCBPDAC BD BPCAPDBC AD 解析 如图，PDCBAsin sinAPCBPCSACPA PCAPC BCSPB PCBPC，sin sinPAAPC PBBPC，sin sinPBDAPDSBDBPBPD ADSAPAPD 两式相乘，即得结论. 评注 这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的 不变量，交比为 2 时，四点称为调和点列，此时，这种情形在几
3、何中十分AB CDBC AD 常见.15.1.4如图，设，试用、表示.BDpCDCEqAEAFrBFpqrPQRABCSSBDRPCEQFA解析 用面积比或梅氏定理得出，于是1 (1)DQ QAr p以及与的表达式，最后算得1AQCACDABCAQrSSSADrprABRSBPCS.2(1) (1)(1)(1)PQRABCSpqr Srprppqqqr15.1.5 已知为的角平分线上任一点，、延长线上分别有点、EABCADABACM，求证：.NCMBEBNCEBMCN解析 如图，连结、.至、距离相等，即，由MENEEABACsinsinBEABECEACE，有，故CMBEBNCEBMEBECE
4、CNSSS1sin2BM BEABE2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3，于是.1sin2CN CEACEBMCNNMDCBEA15.1.6在的两边和上各取一点和，使得，与交于ABCDAADCDFEAECFAECF ，求证：是的平分线.PBPAPC解析 如图，易知，又，故至的距离与至距离1 2ABEABCDBCFSSSAAECFBAEBCF相等，于是平分.BPAPCCBEPDFA15.1.7已知的边、上分别有点、，且、共点，ABCBCCAABDEFADBECF 求证：.1 4DEFABCS S解析 如图，设，则由塞瓦定理知.1BFkAF2AEkEC3CDkBD1231k k k CDBEFA
5、又知原式等价于证明，而，同理，3 4AFEBFDEDCABCSSS S212(1)(1)AFEABCSkAFAE SABACkk，于是问题变为证明113(1)(1)BFDABCSk Skk323(1)(1)EDCABCSk Skk，去分母、考虑并移项整理得上式等价于12312233 11233 (1)(1)(1)4kkkk kk kk k kkk 1231k k k .这显然成立，取等号仅当，此时、为各123 1231116kkkkkk1231kkkDEF2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4边中点.15.1.8在凸四边形中，求ABCD17AB 7BC 22DA 90ABC135BCD 四边形
6、的面积.ABCD解析 如图，故本题只有一解（否则可能为钝角）.2233822ACABBCD今延长、交于，则为等腰直角三角形，.又作，则ABDCEBCE24AE AFED.12 2AFEF135ECBFDA.4923914422AEFBCEABCFSSS四边形又，故.2214DFADAF84 2AFDS于是.23984 22ABCFS四边形15.1.9锐角中，向外作正与正，设与交于点ABC60BACABDACECDAB，与交于点，又与交于点，求证：.FBEACGCDBEPBPCAFPGSS四边形CGP BFDAE解析 结论转化为，两边同时除以，转化成线段之比，即求证，AFCBGCSSABCSAF
7、CG ABAC上式又等价为.AFCG BFAG这是成立的，因为左式右式，此处用到了与.ACCE BDABABCEACBD15.1.10在等腰中，、分别在两腰、上，ABC12ABACEFABAC8AEAF 与相交于点，四边形的面积为 ，求的面积.BFCEDAEDF8ABC解析 如图，连结，设.易知，EFDEFSxEFBC82 123EFEDDF BCCDBD于是，3 2BEDFDCSSx2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5，9 4BDCSx25 4EBCFSx梯形CBDFEA，又455AEFEBCFSSx梯形，故，8AEFSx4 3x .255154ABCSxx15.1.11设、为锐角的三条高
8、，若平分的三条高，若平ADBECFABCEFABCEF 分的面积，求证：ABC.2222DEEFFDBC解析 如图，由条件知，由于，1 2AEFABCS SAFEACBcosAFAEAACABECDBFA故，.21cos2A 45A又由相似知，故，.45FDBAEDC 90FDE22222DEEFFDEF又，得，于是，结论证毕.AEFABC2 2EFAE BCAB222EFBC15.1.12设是内心，在、上的身影分别是、，延长IABCIABBCCALMNMI后，交于，延长后与交于，求证：.LNTATBCQBQCQ解析 如图，连结、，本题等价于证明.TBTCATBATCSS2018 年初中数学竞
9、赛辅导专题讲义6IBQMCNLTA而，由知1sin2ATBSAB LTALN1sin2ATCSAC NTANLALAN，于是只需证明.ALNANL AB LTAC NT由，sinsin sinsinLITNITSLTLITILBAC NTSNITINCAB 结论得证.15.1.13已知：锐角三角形，向外作正方形、，、交于，求ABCABDEACFGBFCDJ 证：.AJBC 解析 1 如图（1），作，我们证明、共点.AHBCAHBFCD(1)CHBJSTFG ADE由于，故，而2ADAB2AFAC45DACABAF DACBAFSSDBCS，.11sin(90 )cos22BD BCBAB BC
10、B 1cos2BCFSAC BCC设、交于，、交于.于是，CDABSBFACTcoscos1coscosDACBAFSASBHCTACC ABB SBHCATSABB ACC 故结论成立. 解析 2 如图（2），设是高，在延长线上分别找点、，使，.AHHAKKBKCDCKBF 易知，同理.的三条高在、直线DBCBAKAKBCAKBC KBCKACDBF 上.因此、三线共点.KACDBF(2)KK EDAGFSJBHC15.1.14求证：存在一个面积为 的四边形，使形内任何一点，、1ABCDPPABSPBCS2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7、至少有一个是无理数.PCDSPDAS解析 如图，
11、作梯形，与的距离为 .则ABCDADBC32ADa2BCaADBC1.1ABCDS梯形CFBPDEA设是内部任一点，则与中至少有一个是无理数.PPADSBPCS否则，若与均为有理数，设分别为、，则，整理得一个关于APDSBPCS1 2m1 2n12mm aa的二次方程，系数可以是整数.但决不是这个方程的根，矛盾.a32因此与中至少有一个是无理数.APDSBPCS15.1.15设中，点为其内部任一点，求证：ABCDA90ABCP.22222cotABCDPBPDPAPCSA解析 此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.PBCDAyx如图，设（，）、（，）、（，）、（ ， ），则（， ），于是Px
12、yB00Cm0AstDmst2222PBPDPAPC22222222()()()()()xyxmsytxsytxmy222()msms22cosmsBC AB.2cotABCDSA15.1.16四边形的两条对角线垂直且交于点，、分别与、垂直，ABCDOOMONABAD延长、，分别与、交于点、，求证：.MONOCDBCPQPQBD2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义8CPQONAMDB解析 显然可将待证式改为.BQDP CQCP由于sin sinBOQCOQSBQBOBOQ CQSCOCOQsin sinBODON CONOA.sin sinBOOADBO DO COADOAO CO同理，也是此
13、式.DP CP 于是结论成立.15.1.17已知凸五边形满足，ABCDEABBCCDDE150ABC30CDE ，求五边形的面积.2BD ABCDE 解析 如图，作点关于的对称点，于是，分别作和CBDKABKBEDKDABK 的角平分线，设交于点，则、分别垂直平分、，则点是KDEMMBMDAKEKM的外心.AKEDEMKABC又由于，1752MBDABC，1152MDBCDE因此.90BMD又由于，因此，点为斜边的中点.AKMDEKBMAKKEMRtAKEAE由，以及得ABMKBMMKDMEDBCDBKD.2BMDABCDESS五边形为求，只需注意，因此作点关于的对称点（图中未画出）BMDS1
14、5MDB2BD BMDB2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义9，有，于是BMDB MD2BMDBDBABCDESSS五边形122sin302 .115.1.18凸四边形中，、分别在、上，、将三等分，且ABCDEFABBCDEDFAC，求证：.1 4ADECDFABCDSSS五边形ABCD解析 如图，连结、.BDBPBQFBEPAOQCD由，（这是因为）知：ADECDFSSAPDCQDSSAPQC.APECQFSS由于，故.因此，亦即.由知，APCQACEFAECF EBFBADEDCFDEBDFBSS SSADEDCFSS.DEBDFBSS而，故1 4ADEDCFABCDSSS，ADEDCFDEBDFBSSSS因而、为、中点.由此可得、分别为、的中位线，即EFABBCQFPECPBAQB，.QFPBPEQB因此四边形为平行四边形，所以DQBP，OPOQODOB而，故APCQ，OAOC 由此得四边形为平行四边形，故.ABCDABCD15.1.19为的内
