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1、第三节 牛顿迭代法与弦割法1、牛顿法基本思想将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。将非线性方程线性化， 取 x0 x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:， 在 x0 和 x 之间2. 牛顿迭代法的原理，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：如何实现？取xyx* x0只要 f C1，每一步迭代都有 而且 ，则 x*就是 f 的根。是如下线性方程的根！3. 牛顿迭代法的几何解释：方程 的根 在几何上是曲线 与 x 轴的交点的横坐标。若 是根 的一个近似，过曲线上横坐标为 的点 作曲线 的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐 标即为 。xyx* x0例2.5：
2、写出求 的牛顿迭代格式；写出求 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。解： 等价于求方程 的正根解法一： 等价于求方程 的根退化为二分法！解法二： 等价于求方程 的正根设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 连 续，且 ，则存在 x* 的邻域 ， 使得任取初值 ，由牛顿迭代法产生的序列 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*，且4、牛顿迭代法的局部收敛性定理其中 ，则收敛由泰勒展开：在单根附近收敛快！只要 ，则令 可得结论。证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代在 和 之间牛顿迭代法的改进 重根 Q1: 若 ，牛顿迭代法是否仍收敛？ 设 x* 是
3、f 的 n 重根，则： 且 。 因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代，其中 ，则A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。 令 ，则 f 的重根是 的单根，且从而可构造出相应的迭代法格式为对 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，则，所以上述格式是平方收敛的。 收敛速度快，稳定性好； 精度高。 在重根附近收敛速度会降阶； 每次都要计算函数及其导数值，计算量大。优点缺点注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值 选在解 的附 近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质 量较好的初值！主要缺陷！ ！收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。第五节 弦割法x0x1切线 割线 切线斜率 割线斜率需要2个初值 x0 和 x1。基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 ，从而得到弦割法。x2Th2.10局部收敛性设 表示区间 ， x*为方程 f (x) =0的根， 函数f (x)在 中有足够阶连续导数， 且 满足 则对 ，由割线法产生的序列 都收敛于x*，且(i) (ii) (iii) 其中收敛速度介于牛顿法 和 二分法 之间
