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1、科學月刊【生活與學習】專百科學月刊【生活與學習】專百 6 月月 高中學課程的線性規劃高中學課程的線性規劃 單維彰單維彰100 5 月月 16 日日 所謂線性規劃 (Linear Programming) 在其（經過整的）學形式上，是求 n m 元一次目標函在滿足個一次等式 之限制條件下的最小值。 （我們可以只討的情況。） 1 122nnPc xc xc x11 112211nna xa xa xb 21 122222nna xa xa xb 1 122mmmnna xaxaxb m mn 就像許多學概一樣，線性規劃的初步想法可以追溯到早以前，但是我 們今天認它的方式乃至於稱呼它的名字，乃是具體
2、地誕生於西元 1948 。名字之中的線性(linear) 表現它在學技術上的特徵：求最小值的目標函 以及設定條件的等式 ， 都是一次式 ， 也就是線性的 。 而 規劃 (programming) 其實是軍事用語，意指一套兵派遣、火部署和補給作業的規劃；這個字表現 這套學想要解決的典型問題。 但是者該將線性字面地解為直線的 。這是一部份高中學生具 有的迷思：因為二元一次方程式 axbyc 的圖形是平面上的直線，就自然 地以為三元一次方程式 axbyczd 的圖形是空間中的直線是的，它 是空間中的平面。一般而言，n元一次方程式1 122nna xa xa xb的圖形是n空間，少一個維 （也就是n-
3、1 維） 的 平面 ，稱為超平面 (hyperplane)。 而滿足n元一次等式1 122a xa x的解 ， 就是被超平面分割的個 半空間之一。 nna xb線性規劃在 1960 代因為美國報紙的宣揚而成為家喻戶曉的學明星。做 為明星所達到的最高峰，或許是 1975 的貝爾經濟獎，受獎者是位線性規 劃的先學者，得獎的原因是他們在資源最佳分配上的貢獻 。而線性規 劃的基本性質，和它的基本解法單形法(Simplex Method)，都在 1950 代的 前期就確。 1966 前後 ， 為東華書局根據民國 53 版之課程標準編撰當新民教授在 高中學教科書時，很有創意地將線性規劃的淺薄特 ：2n 的
4、情況，寫進 教科書。將一個還在尖端研究域的學課題寫進高中學教材，應當是一件 人歡欣鼓舞的事，很有趣也很有啟發性。教授後成為中央大學校（成為 大學）後的首任校長。 上，排除一些無聊的情況之後，滿足限制條件的點，是n維空間中被m 個超平面圍成的區域；稱為多胞形 (polytope)；這個看起很時尚的名字，其實 在二維（平面上）就是多邊形（如三角形、四邊形等） ，在三維（空間中）就是多面體（如四面體、方體、角錐體等） 。學定保證上述多胞形必然 是凸的 ，所以如果目標函在限制條件之下有最小值，則最小值一定發生在 此多胞體的某一個頂點上。 （也就是n個超平面交於一點） 。這是這是一個美好的定，但是實上頗
5、為困難。首先，求取頂點坐標等於要算 一個n元一次方程式的解，在高中學習高斯消去法求解三元一次式，我們可以推廣此算法解n元一次式，但是其複雜的程是n:3，而是3n:27。 者只要代入n=10 試試看，就可以想像其複雜的程；而n=10 是實際應用時常 的未知個。其次，頂點的個非常多，而且容判斷。在m個條件中 任選n個，就能計算一個交點高中生可以解， 一個組合問題，限制條件形成的凸多胞體可能有m nC個交點。者只要試試 看15 10C就能感受交點有多麼大！而m=15 在實際應用時還算太多。但是這些 交點卻一定是多胞體的頂點（稍後在平面上再解釋） ，我們還須要一些並容 的步驟判斷哪些交點是頂點？ 因此
6、，應用學家（和經濟學者）並直接使用上述美好的定，設計求解 線性規劃問題的演算法（否則，那個貝爾獎是是得太輕一點？） 。單 形法是最早發明的算法，雖然這個方法在上如後發明的種算法，但是 實務經驗上卻相當可靠，所以至今仍是最普遍被採用的算法。單形法的重點在於 效，它使得我們必嘗試目標函在每一個頂點的值，就能找到發生極小值的 那個頂點。 當2n ，也就是目標函與限制條件都只有個變，我們可以限制在平 面上探討它。此時我們習慣將1x寫成x，2x寫成y，而限制條件就是由m條直線kkka xb yc，1k , 2, , m圍成的凸多邊形。事實上，每條直線就有一個交 點，如五個條件對應的五條直線一共（最多）有
7、5 210C 個交點，須要求解二 元一次方程組10遍（通常包含0x 和0y 個條件，所以有條直線就是x 軸和y軸，簡化問題） 。但是我們可以在平面上看到這m條直線，很容 假思地新民校於民看到頂點的大位置，只要算出形成頂點的交點即可，而必經 過計算交點然後判斷是否為頂點的步驟。 長國57版的東華版學課本引進2n 之線性規劃淺薄特 時，只有一個題。其設計目標看只想要結二元一次等式的解區域 （平面上的多邊形） ，並順點到為止地介紹一項學新知（線性規劃） 。用今天 的法，就是在教材添加一點花絮或欣賞 。當時，他並未明求解的 方法及由，只是 （解法）一般將至為繁複，但由線性規劃之，960-2x-y之極大
8、或極小值，將在五邊形之頂點出現 。然後就是頂點表法。習題之中， 題是解條二元一次等式的操作習，題習畫解區域，一題習由 解區域找等式，只有一個文字應用題。 如果將民國5361間的學教材當作台灣現代學課程的第一代， 則6272間的第二代四種版本的學課本中，仍然只有校長的東華版在第 冊第四章總複習的4-4等式與極值問題，放一個線性函的極限題（8） ，內容就是線性規劃。這第二代的教材採用平直線系 （xyk）解釋xy的最大值發生在一個四邊形區域的某頂點。這份教材 沒有提到頂點法 ，甚至沒有設計似的習題；整個教材中，僅此一個題。 平的章等式的 2-空間中 （也就是維） 討線性規劃在第三代學課程（民國728
9、7，全國統一使用的部編版）忽然變成一個重要課題 ， 在第一冊第三章 直線方程式與二元一次等式 的 3-4 二元一次等式與線性規劃，正式躍上標題。這一冊課本平均每節只 有10.6頁，而3-4佔19頁，可是一個重點章節 。3-4的內容完整地從 直線系發展到頂點法，並介紹頂點坐標是整的題型。 第四代學課本又回到一綱多本的局面 ， 共同的依據是民國8410月公布 高級中學學科課程標準 。這一代的課本保存部編版的線性規劃，但是 移到高中三級選修的學甲或，各版本都為線性規劃獨設 一節。當時認為學甲適合準備進入、工、醫、農、商學域的高中生，而 學乙則是為文、法、教育、藝術域的學生設計的。 第四代課本中的南一
10、版最接近前代部編版的內容，放在第二 3線性規劃 ，佔18頁，課後設計7道習題，外加2個綜合習題。相 對於部編版，只在格子點問題上做簡化。除康熙版只用13頁，各版本都 盡情發揮這個課題，三民版用20頁，翰版24頁，正中版30頁，騰版甚 至還框一個線性規劃基本定！ 即使2n ， 目標函( , )zf x yaxby仍然應該在1n 。高中生已經知道zaxby亦即0axbyz是空間中的平面，稱它為。 當( , )x y在限制條件圍成的凸多邊形區域內，相當於( , , )x y z形成上的一個凸多邊形。想像我們把一張紙平鋪在桌面上畫一個凸多邊形，然後隨意拎起這張 紙，讓它斜在空中（得卷曲） ，則紙上多邊
11、形的最高點，當然發生在某個頂 點或某個頂點所的整條邊！大一微積分的學生將會知道，目標函( , )f x y的法。頂點 法的思過去 半個一點。可次偏導恆為，所以在區域的內部沒有界點，因此它的極值必定發生 在邊界上。同討邊界上的函，也同樣沒有界點，所以極值必定發生在頂2的線性規劃問題，其實還有也許自然的 自從獨佔教科書市場15的部編版課本之後，線性規劃就在高中學課程 站穩腳跟。然而，與國際學教材相比，線性規劃仍是本國之獨有特色之一。 以二元一次等式找到凸多邊形之可解區域 ， 然後以平直線系推導 維過程，失為一本線性規劃教科書的絕妙入門教材；作為學應用之通 或欣賞，也失為高中教材的好範。但是，將它作為一個課程主題處 ，稍嫌孤於核心知之外，又未能掌握一般性問題的關鍵，則可以考n 看世紀的教材發展程，在整個高中學教育的原則之下，重新思考其適 當性。
