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1、- 1 -考点考点 4242 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题一、选择题1.（2011山东高考理科8）已知双曲线（a0,b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y2-22221xy ab6x+5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( )（A） （B）（C） （D）22 154xy22 145xy22 1xy 3622 1xy 63【思路点拨】先求出圆 C 的圆心坐标（3,0） ，半径 r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到 a,b 的关系，再由双曲线的右焦点为圆 C 的圆心知 c=3，即可求出结果.【精讲精析
2、】选 A.双曲线的渐近线方程为 bx+ay=0 和 bx-ay=0，圆心为（3,0） ，半径 r=2.由圆心到直线的距离为，得 4a2=5b2，又因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，所以 c=3，即 9=a2+b2， 所 223r bab以，a2=5，b2=4 所以该双曲线的方程为.22 154xy2 （2011福建卷理科7）设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线上存在点 P 满足=4:3:2，则曲线的离心率等于( )1122:PFFFPF（A） （B）或 2 （C）2 （D）13 22或2 31 2或23 32或【思路点拨】根据=4:3:2，设出，然后按曲线为椭圆或1122:PFFF
3、PF1122PFFFPF，者双曲线，在中分别利用定义求离心率.12PFF【精讲精析】 选 A. =4:3:2，Q1122:PFFFPF11224 ,| 3 ,| 2 ,PFk FFk PFk可设其中，.若圆锥曲线为椭圆，则，12| 23FFck3 2kc 12| 26PFPFak3ak若圆锥曲线为双曲线，则3 12.32 kceak12| 22 ,PFPFak3 3132,.222kcakeeak 的取值为或3. （2011福建卷文科11）设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1， F2，若曲线 C 上存在点 P 满足：= 4:3:2，则曲线 C 的离心率等于（ ）1PF12FF2PF- 2 -
4、（A） （B）13 22或223或（C） （D）122或23 32或【思路点拨】根据=4:3:2，设出的值，然后按曲线 C 为椭1122:PFFFPF1122PFFFPF，圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.12PFF【精讲精析】选 A. =4:3:2，Q1122:PFFFPF11224 ,| 3 ,| 2 ,PFkFFkPFk设其中，.若圆锥曲线 C 为椭圆，则，12| 23FFck3 2kc 12| 26PFPFak3ak若圆锥曲线 C 为双曲线，则3 12,32kceak 12| 22 ,PFPFak,ak3 32,2 kceak13.22 的取值为或e二、填空题二、填空题4.（20
5、11山东高考文科15）已知双曲线22221(0b0)xyaab，和椭圆22xy=1169有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出 b，然后写出双曲线的方程.【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（-，0） ， （，0） ，即 c=，又因为双曲线的离心率为777，所以 a=2,故 b2=3，所以双曲线的方程为.c2 7ea413422 yx【答案】13422 yx5.（2011北京高考理科T14）曲线 C 是平面内与两个定点和的距离的积等于常数1( 1,0)F 2(1,0)F的点的轨迹.给
6、出下列三个结论：2(1)aa 曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则的面积不大于.12FPF21 2a其中所有正确的结论的序号是 .- 3 -【思路点拨】写出曲线 C 的方程，再逐个验证三个结论.【精讲精析】设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点，则由，得2 12| |PFPFaC: ，把（0，0）代入方程可得，与矛盾，故不正确；22222(1)(1)xyxya21a1a 当 M(x,y)在曲线 C 上时，点 M 关于原点的对称点，也满足方程，故曲线 C 关于原点对称，故(,)Mxy正确；，故正确. 1222 12121111|sinsin222F PF
7、SPFPFFPFaFPFa【答案】三、解答题三、解答题6 （2011安徽高考理科21）若，点 A 的坐标为（1,1） ，点 B 在抛物线上运动，点 Q02xy 满足，经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P 满足,求点 P 的轨迹方BQQAuuu ruu u r MPQM程.【思路点拨】设出点坐标，通过，等中间量建立方程，消去中间量，求出点的轨迹方程【精讲精析】由知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 P(x,y),Q(x,),MPQM0yM(x,x ),则即2).(2 02xyyx.)1 (2 0yxy再设由，即解得),(11yxBBQQAuuu ruu
8、u r ),1 ,1 (),(0101yxyyxx110x(1)x, y(1)y. 将式代入式，消去，得0y122 1x(1)x,y(1) x(1)y. 又点 B 在抛物线上，所以，再将式代入，得2xy 2 11xy 2 11xy - 4 -. 0)1 ()1 ()1 (2.)1 (2)1 ()1 ()1 (.)1()1 ()1 (22222222yxxxyxxyx因为，两边同时除以得0),1 (. 012 yx故所求点 P 的轨迹方程为.12 xy7. （2011新课标全国高考理科20）在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足/ /MBOA
9、uuu ruur ， MA ABMB BAuuu r uu u ruuu r uu r ，M点的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.【思路点拨】第（1）问，求点的轨迹，可设点坐标为，然后利用条件得到点 BMM( , )x y/ /MBOAuuu ruu u r的坐标，最后将条件转化为坐标关系，得到满足的关系式，化简整理即得的MA ABMB BAuuu r uuu ruuu r uu u r, x yC方程；第（2）问，设出点的坐标，利用导数求出切线 的斜率，表示出 的方程，再利用点到直线的距离公Pll式求得点到 距离的函数，然后利
10、用函数的知识求出最值即可.Ol【精讲精析】(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MAuuu r =（-x,-1-y）, MBuuu r =(0,-3-y), ABuu u r =(x,-2).再由题意可知（MAuuu r +MBuuu r ） ABuu u r =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y=1 4x2-2.(2)设 P(x0,y0)为曲线 C：y=1 4x 2-2 上一点，因为 y=1 2x,所以l的斜率为1 2x0,因此直线l的方程为0001()2yyx xx，即2 000220x xyyx.则 O 点到l的距
11、离2 002 0|2|4yxd x .又2 00124yx，所以2 02 022 0014142(4)2,244x dx xx 当2 0x=0 时取等号，所以 O 点到l距离的最小值为 2.- 5 -8.（2011山东高考理科22）已知直线l与椭圆 C: 交于 P（x1,y1） ，Q(x2,y2)两不同点，且OPQ 的面积,其22 132xy6 2OPQS中 O 为坐标原点.（1）证明 x12+x22和 y12+y22均为定值；（2）设线段 PQ 的中点为 M，求的最大值；PQOM （3）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得若存在，判断DEG 的形状；若不ODEODGOEG6SSS?2存在
12、，请说明理由.【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论.（2）利用第一问的结论，再应用基本不等式容易得出结论.（3）利用反证法，假设存在这样的点，经推理得出矛盾，从而证明原结论成立.【精讲精析】 （1）当直线 的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由l,P Qx1212,xxyy 在椭圆上，则，而，则.于是，11,P x y22 11132xy116 2OPQSx y116,12xy22 123xx.当直线 的斜率存在，设直线 为，代入可得，22 122yyllykxm22 13
13、2xy2223()6xkxm即，由得，化简得222(23)6360kxkmxm0 222236k m4(23k )(3m6)02232km ，.2121222636,2323kmmxxx xkk ，222 12121211()4PQkxxkxxx x22 2 22 6 32123kmkk， 20 1 mld k到的距离222112 6 326 22232POQkmSd PQmk整理得，满足，22322km0 ，2 2222 1212122263(2)()2()232323kmmxxxxx xkk - 6 -，222222 121212222(3)(3)4()2333yyxxxx综上可知，.22
14、 123xx22 122yy（2）当直线 的斜率不存在时，由（1）知l1626;2ggOMPQxPQ当直线 的斜率存在时，由（1）知，l123 22xxk m ，2 121231()222yyxxkkmmmm ，22221212 2229111()()(3)2242xxyykOMmmm，22222 222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)kmmPQkkmm，当且仅当，即时等号成立，综上可22221125(3)(2)4OMPQmm221132mm2m 知的最大值为.OMPQ5 2（3）假设椭圆上存在三点，使得，,D E G6 2ODEODGOEGSSS由（1）知，2222223,3,3DEEGGDxxxxxx.2222222,2,2DEEGGDyyyyyy解得,，2223 2DEGxxx2221DEGyyy因此只能从中选取，只能从中选取，,DEGxxx6 2,DEGyyy1因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与,D E G6(, 1)2
