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1、志在金榜志在金榜 学学为题为题名名 金榜金榜题题名教育网名教育网:本文荣获 2010 年中国教育学会中国教育学刊（国家级重点期刊）“中国教育实践与研究 论坛”论文大赛一等奖、同时荣获中国教育（国家级期刊）“新课程与创新教育论文大赛”一 等奖，并入选国家级出版物-现代教育研究与实践指导全书（现代教育出版社）2010 年高考数列年高考数列备备考全攻略考全攻略分析近分析近 5 年高考年高考试题试题 浅浅谈谈 2010 年数列年数列备备考考 高考命高考命题题与与备备考研究中心考研究中心 夏夏 文文 涛涛【 摘要 】为了能比较全面的搞好数列部分的备考，笔者分“最近 5 年高考数列考点经典试题精析”和“2
2、010 年高考数列复习备考导航”两个内容，剖析该部分高考重要考点，提供常见实用的做题方法（即通性通法），并比较详细地梳理了高考考查重点、难点求通项公式和求和的常见做法，力求对备考的学子有所裨益。【 关键词 】高考数列、备考复习 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考查内容之一。数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列试题的能力考查特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。2010 年全国高考在即，为了能比较全
3、面的搞好高考数列的备考，笔者分“最近 5 年高考数列考点经典试题精析”和“2010 年高考数列复习备考导航”两个内容，剖析该部分高考重要考点，提供常见实用的做题方法（即通性通法），并比较详细地梳理了高考考查重点、难点求通项公式和求和的常见做法，力求对高考备考的学子有所裨益。最近最近 5 年高考数列考点年高考数列考点经经典典试题试题精析精析金金榜榜题题名名教教育育高高 考考 命命 题题 与与 备备 考考 研研 究究 中中 心心志在金榜志在金榜 学学为题为题名名 金榜金榜题题名教育网名教育网:本文荣获 2010 年中国教育学会中国教育学刊（国家级重点期刊）“中国教育实践与研究 论坛”论文大赛一等奖
4、、同时荣获中国教育（国家级期刊）“新课程与创新教育论文大赛”一 等奖，并入选国家级出版物-现代教育研究与实践指导全书（现代教育出版社）一、高考数列考点一、高考数列考点考点考点 1: 数列的基本概念数列的基本概念数列的基本概念包括理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根递推公式据写出数列的前几项，理解等差数列的概念,理解等比数列的概念。数列的基本概念在近五年的高考中基本上在选择题、填空题中考查，主要考查等差数列和等比数列的概念及其应用。在近 5 年高考试题中，对数列的基本概念的考查形式多样、考查方式较灵活、内容较综合，要求考生在认真审题的基础上，充分观察和
5、想象，然后利用所学知识解决新情景下的数列试题。1、 （2009 湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）A.289 B.1024 C.1225 D.1378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan ，同理可得正方形数构成的数列通项2 nbn ，则由2 nbn ()nN 可排除 A、D，又由(1)2nnan 知na必为奇数，故选 C。 答案： C2、 （2008 江苏卷
6、）将全体正整数排成一个三角形数阵：志在金榜志在金榜 学学为题为题名名 金榜金榜题题名教育网名教育网:本文荣获 2010 年中国教育学会中国教育学刊（国家级重点期刊）“中国教育实践与研究 论坛”论文大赛一等奖、同时荣获中国教育（国家级期刊）“新课程与创新教育论文大赛”一 等奖，并入选国家级出版物-现代教育研究与实践指导全书（现代教育出版社）12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第 n 行（n 3）从左向右的第 3 个数为 解析：本题关键在于通过观察、找到规律。 答案：26 2nn3、(2005 重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个
7、顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A.4B.5.C.6D.7解析：本题以立体图形为载体，重点考查学生空间想象能力和逻辑推理能力，综合立几和数列，实为匠心独运的好题。 答案：C考点考点 2 : 数列的通数列的通项项公式公式高考数列的通项公式考点包括：1、等差数列通项公式，2、等比数列通项公式，3、给出递推公式，求通项公式。其中 1、2 主要是考查基本量问题 ，在等差(比)数列中，常会在首项a1，第 n 项 an，项数 n，公差(比)d(q)，前 n 项和 Sn 之间，给出一些
8、已知条件，从而得出这五个量之间的某些关系，可以求出其他的一些量。 3 一般在解答题中考查，此类考题较难，常常作为压轴题。考虑到文理科的差异，文、理数学卷稍有区别，文科数学解答题常考等差、等比数列综合题，而理科数学解答题常常考递推公式类题，笔者在“2010 年数学数列复习备考导航”中有详细的总结。（1）最近最近 5 年全国高考等差数列、等比数列通年全国高考等差数列、等比数列通项项公式公式经经典真典真题题精析精析从近 5 年全国高考试题来看，等差、等比数列部分基本量问题考查较多。等差中项类型题目的考查也尤为频繁，连续几年都不间断考查，考生在复习备考一定要注意两点：1、等差志在金榜志在金榜 学学为题
9、为题名名 金榜金榜题题名教育网名教育网:本文荣获 2010 年中国教育学会中国教育学刊（国家级重点期刊）“中国教育实践与研究 论坛”论文大赛一等奖、同时荣获中国教育（国家级期刊）“新课程与创新教育论文大赛”一 等奖，并入选国家级出版物-现代教育研究与实践指导全书（现代教育出版社）中项在解决（要求是奇数）的妙用，2、若 m+n=p+q,则 an+am=ap+aq (m,n,p,qN+)；等比中nSn项类型题目的考查也尤为频繁，此类题目一定要注意正负问题，做好取舍是关键，另外等差、等比数列的小综合题也时有出现，要引以足够的重视。1、 （2009 全国卷）.设等差数列的前项和为.若 -manms4
10、53, 55saas则解析：由得，即 。 答案：053,5aa1460ad40S 2、(2006 湖北卷理)若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且, ,a b c, ,c a b,则( )310abca A4 B2 C2 D4解析：由题得 2b=a+c,a2 =bc,联即可得 a=-4.答案：D3、 （2005 全国卷 II 理）如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则( )1a2a8a0d （A） （B） （C）+ （D）=1a8a45a a8a1a45a a1a8a4a5a1a8a45a a解析：本题考查学生逻辑推理能力和计算能力，考生可以在满足题设条件的前提下采用特殊值法，很容易得出
11、答案。 答案： B（2）最近最近 5 年全国高考年全国高考给给出出递递推公式求通推公式求通项项公式公式经经典真典真题题精析精析给出递推公式求通项公式是高考数列解答题的常见形式，往往是数列压轴题的第一小题。此类题目思维难度较大，但解决方法一般不唯一，为了降低难度，让不同层次的考生得到应得的分数，往往都给了相关的提示，考生只需合理利用好提示，就能顺利解答。1、 （2009 全国卷 II 理）设数列的前 n 项和为，已知 nanS111,42nnaSa1 设nn 1nnba2ab ，证明数列是等比数列2 求数列a 的通项公式n解：（1）由= ，有，两式相减得1sn24na24s1nna1144ann
12、naa变形为，即， （n2） 由=，)2(22a11nnnnaaa1 -n2bb n212saa 24a1得，于是所以数列是首项为 3，公比为 2 的等比数列。52a32b121aa nb（2）由（1）得，即,所以，且于123n nbnna2a11n2343 2211 nn nnaa 21 2a1志在金榜志在金榜 学学为题为题名名 金榜金榜题题名教育网名教育网:本文荣获 2010 年中国教育学会中国教育学刊（国家级重点期刊）“中国教育实践与研究 论坛”论文大赛一等奖、同时荣获中国教育（国家级期刊）“新课程与创新教育论文大赛”一 等奖，并入选国家级出版物-现代教育研究与实践指导全书（现代教育出版
13、社）是是首项为，公差为的等差数列，所以，所 nn 2a 21 43) 13(41 43) 1(21 2annnn以) 1( ,2) 13(2nnan n2、 （2006 全国卷 II）设数列an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2anxan0 有一根为Sn1，n1，2，3，（）求 a1，a2；（）an的通项公式解：()题属于基本题，根据题中条件很容易写出关于 a1，a2的方程，即可得解。()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0， Sn22Sn1anSn0当 n2 时，anSnSn1，代入上式得 Sn1Sn2Sn10 由()知 S1a1 ，S2a1a2 12121623由可得 S3 34由此猜
14、想 Sn，n1，2，3， nn1下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1 时已知结论成立(ii)假设 nk 时结论成立，即 Sk，kk1当 nk1 时，由得 Sk1，即可得 Sk1，ks21k1k2故 nk1 时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知 Sn对所有正整数 n 都成立 nn1于是当 n2 时，anSnSn1，nn1n1n ) 1(1 nn又 n1 时，a1 ，所以an的通项公式 an，n1，2，3，1211 2nn1志在金榜志在金榜 学学为题为题名名 金榜金榜题题名教育网名教育网:本文荣获 2010 年中国教育学会中国教育学刊（国家级重点期刊）“中国教育实践与研究 论坛”论文大赛一等奖、同时荣获中国教育（国家级期刊）“新课程与创新教育论文大赛”一 等奖，并入选国家级出版物-现代教育研究与实践指导全书（现代教育出版社）3、 （2005 北京卷）数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，n=1，2，3，求11 3nnaS（）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；（）的值.2462naaaa解：（）略， （I）由 a1=1，n=1，2，3，得11 3nnaS211111 333aSa3212
