“活动—问题—对话”导向的教学设计——“三角形全等的判定”的教学实践

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1、2015年第5期2015年第5期年第年第5 5期期342 0 16年第11期徐晓燕 唐争艳摘 要 以“三角形全等的判定”一课为案例，探讨如何基于课程标准和学情，对教学内容进行中观层面的思考及重组，体现画（作）图在几何教学中的“工具性地位”，逐步突破从直观感受到合情说理过渡的难点，并以“活动 - 问题 - 对话”为抓手进行课堂转型实践，促进学生的数学理解。关键词 活动与问题设计 三角形全等 教学设计“活动问题对话” 导向的教学设计“三角形全等的判定”的教学实践一、教学选题的背景（一）“三角形全等”内容的地位和作用“全等三角形”是数学 七年级第二学期（试用本） （上海教育出版社）的内容。在欧几里得

2、的几何原本中，第一卷命题 4 就安排了全等三角形判定定理，可见该内容对于平面几何的重要性。上海市中小学数学课程标准 （试行稿） 指出：在全等三角形的学习中， 学生需要理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质；通过画三角形的操作活动，归纳并掌握全等三角形的判定方法；体验“实验归纳猜想证明”的数学研究方法，进行几何语言和说理的训练，初步体会几何推理的过程。七年级的学生正处于从实验几何阶段“合情说理”走向论证几何阶段“合理论证”的时期，而全等三角形的教学内容，恰好是一个极佳的载体。（二）教学中观察到的问题1. 教材处理不当导致学生思辨能力的不足全等三角形的判定，在不同版本教材上都是按单个判定方法来

3、分配课时的，一般如“边角边”就是一个课时，往往是每节课先安排一个按规定条件画三角形的操作情境， 然后验证、 猜想、 归纳出判定方法， 最后进一步讲解例题、巩固练习的教学程式。如果按照这样的教材安排逐个认识三角形的四个判定方法，学生的认知意愿容易衰减，且在综合运用判定方法时容易暴露出选择的困难。On-the-spot Discussion35教研现场2. 对画图活动的认识不足引发合情推理障碍对于三角形全等的四个判定定理，人教版教材并没有给出证明，而是通过实验的形式得出结论；美国早期几何教材中“边角边”定理与“角边角”定理均采用叠合法证明，“边边边”定理的证明方法各异，证明方法比较丰富；而沪教版教

4、材中的四个判定定理中对“边角边”“角边角”采取叠合法说理，对“角角边”采取演绎推理的方法，“边边边”定理在现阶段只给出结论，没有给予任何证明。实验几何阶段的学习，应该通过画图活动、操作验证活动等让学生经历充分的过程体验和表象支撑，为说理进行充分的铺垫。许多教师没有把画图技能作为探究工具来认识，没有理解画图和操作的内涵，从而无法揭示“交轨思想”的内涵以引导学生说理。通常教师会进行“包办代替说理”，或者干脆跳过说理直接进行知识的应用，这对学生的推理和说理能力的培养是不利的。二、教学设计相关思考（一）基于学情，重组教学内容，进行整体性安排沪教版教材中，对于全等三角形判定方法的探索，共安排三个课时，判

5、定方法逐个呈现，但四种判定方法的探究模式趋同。所以，本次教学探索将教材中的这三个课时的核心部分整合为一课时，立足点是画一个三角形，判定方法归结为所画三角形的形状和大小是唯一的。同时，将判定方法的应用安排在后续的课堂教学。为了了解受教的学生已有知识积累、学习能力和认知经验是否足够完成学习任务，教研团队设计了课前检测。结果发现：（1）学生的基本几何作图能力普遍较强，作图正确率较高；（2）学生对于作图步骤只能进行描述性叙述，无法精准地表述尺规作图的步骤；（3） 学生能够理解 “如果两个角的度数相等，则这个角能重合”“如果线段长度相等则线段能重合”“如果半径相等则两个圆能重合”，而这些恰恰就是说明两个

6、三角形能互相重叠的基础。（二）基于活动和问题的设计，关注学生的对话，关注数学理解通过分析教学任务中的关键问题，以课堂典型活动的设计为特色，把教学过程设计为若干数学活动，在每个活动中设计一个或者两个问题，通过问题的思考进行探索。把“关注课堂对话，促进数学理解”作为课堂教学研究关注的焦点；通过课堂观察，分析高层次学生对数学问题理解的深度；通过“后测”及数据分析，诊断学生学习效果并以此对教与学进行评价。三、教学设计与实践（一）教学目标的设定基于上述的分析与思考，教研团队对这节课的教学目标作了如下定位：（1）通过画一个与已知三角形全等的三角形，获取对三角形全等所需条件的初步认识；从操作中体验并认识画三

7、角形需要三个元素，并至少有一条是边。（2） 通过分析作图方法， 由图形重合 （全等）转化为边角的重合、边角的重合转化为点的重合，对所画全等三角形与原三角形全等的原因进行合情说理，归纳、概括、抽象总结出三角形全等的判定方法，使学生初步形成合情推理能力和语言表达能力。（3）经历“操作 感知 猜测 验证 说理 数学化表达”的过程，探究全等三角形的四种判定方法，进一步提升逻辑推理能力。在充分2015年第5期2015年第5期年第年第5 5期期362 0 16年第11期参与数学活动的过程中逐步养成乐于探索的良好品质。（二）课堂活动设计教师围绕上述目标做了如下活动设计：1. 课前操作活动3. 探究说理活动这

8、部分活动主要是师生共同探究，从画图过程中提炼说理的要点。对于“角角边”的说理，可以师生共同完成；对于“边边边”判定的说理，学生可以参考教师的讲解，运用交轨思想，把问题转化成说明“两个半径相等的圆重合，所以交点重合”；对“角边角”说理，可以把问题转化成说明“两条射线的重合从而交点重合”问题。由此，初步得到三角形全等的三个判定方法。在此基础上，可以尝试进一步探索三角形全等判定的方法。教师提问：这三种画法的共性是都使用了已知三角形的三个元素且其中至少有一条是边。一个三角形共有 6 个边角元素，选择其中 3 个元素与另一个三角形对应相等，共有哪些结果？六种可能方法中已有三种确定为全等三角形的判定方法。

9、其余三种是否也能作为三角形全等的判定方法？你能进行说明吗？通过老师的一系列问题，引导学生围绕三角形六个元素中的三个，寻找并归纳三角形全等的判定方法。4. 目标检测活动为了检测学习效果，教师设计了目标检测练习。题 1. 判定下列各对三角形是否全等，并说出所用的判定方法。表 2 作业交流活动设计活 动 内 容课前作业展示、交流 问题 1：画图过程中，你使用了几个已知三角 形的边角元素？ 问题 2：请简要说明你的画图过程？ 问题 3：你用什么方法验证你画的三角形和原 来的三角形是全等的？ 问题 4：我们先思考一下说明两个三角形重合 的关键是什么？设 计 意 图（1）通过学生对作图步骤的演示和讲解，把

10、画 三角形的问题分解为作一条线段等于已知线段， 作一个角等于已知角，画一个规定半径长度圆 的问题，从而为后继说理打下基础，在这个过 程中，通过学生的表达和交流，把内部思维过 程显性化； （2）基于事实经验，通过作业交流让学生清晰 地感受到画一个三角形，只需要三个条件（至 少一边），并在交流活动中提高学生的数学交 流与表达能力； （3）需要特别说明的是在操作验证时，教师应 特意引导学生说出先把哪两个顶点叠合在一起， 再看第三个顶点的重合， 为后面的说理进行铺垫表 1 课前操作活动设计活动 内容如图 1，已知 ABC，试画出一个三角形与所 给的 ABC 全等。具体要求：保留作图痕迹， 并简单写出作

11、图步骤设计 意图通过画一个与已知三角形全等的三角形，感 知确定一个三角形需要三个条件 （至少一边） ， 让学生在作图过程中对三个顶点的确定有初 步的感受和体验图 12. 作业交流活动过 程 说 明在课前作业的反馈中，大多数同学都能用至少 一种方法画出一个三角形， 并给出规范的表达， 在学生的交流过程中，我们可以看到学生对画 三角形和步骤的表达没有问题，但是为了给后 面的说理进行铺垫，教师要求每个学生简单地 进行操作验证，提升数学的严密性；另外在学 生进行操作演示时，教师要特意让学生说出先 把哪两个顶点叠合在一起，再看看第三个顶点 是否重合，为后面的严格说理进行铺垫（续表）On-the-spot

12、 Discussion37教研现场（1） （2） （3）（1） （2） （3）找出图中的全等三角形，并说出所用的判定方法。所用的判定方法是 ；方法 3：还要添加的条件为 ，所用的判定方法是 ；方法 4：还要添加的条件为 ，所用的判定方法是 ；判断下列各对三角形是否全等，如果全等，请说出所用的判定方法。图 2图 3图 4图 5设计意图：这个练习的意图是通过简单图形辨识，巩固学生对全等三角形判定方法的理解，更重要的是让学生形成有序思考的习惯，首先看边角元素个数是否正确，然后再看边角的相对位置是否正确。题 2. 已 知， 如 图 5： ABC= DEF，AB=DE，要使得 ABC DEF：方法 1：

13、还要添加的条件为 ，所用的判定方法是 ；方法 2：还要添加的条件为 ，2015年第5期2015年第5期年第年第5 5期期382 0 16年第11期设计意图：通过设置开放性问题，进一步加深学生对全等三角形判定方法的理解。同时让学生思考，在已有一边一角两个元素对应相等的前提下，如何清晰、有序地分析，进一步从边和角的维度增加一个恰当的条件来解决此类问题。四、教学反思与评价执教者认为，这次执教“三角形全等的判定”带给自己全新体验，从中获益良多。一开始对将四个判定方法在一节课中讲授的效果抱有怀疑，总觉得这样授课学生根本无法真正理解，也没有进行的必要，更没有深思过如此上课的原因，以及如果要这样授课学生必须

14、具备哪些方面的能力和知识储备。通过备课研究，执教者真正理解了这样的设计能够更好地理解交轨思想，帮助学生整体掌握四个判定方法的共性，并思辨地应用，帮助其把握整体的精华、领悟知识的内在联系和规律。本节课最大的难点就是如何让学生理解顶点重合并能对三角形的顶点重合进行合情说理。以前这个环节总是教师“包办代替”或者“匆匆走过场”，可见，许多难点不能突破还是由于教师自身对于内容的分析不够深入本质。作为观察员的观课者指出，课上教师能结合画图过程，利用说明线段重合、角重合、圆重合的方法说明点的重合，并借助课堂上有效的活动设计与师生对话，巧妙地化解学生们的学习难点。课堂观察数据显示，本节课师生对话 60 次，学

15、生个体应答 36 次，集体应答 36 次，板演 3 次，展示交流 6 次，教师指导 23 次，鼓励赞扬各 6 次，整个课堂由教师主导转向师生共同体。点评专家指出， 本节课设计上的亮点就是 “整合” ， 把研究判定定理的方法 “画图说理归纳应用”进行了归并，把四个判定定理进行整体推进，然后再进行综合性运用和选择性运用，这样更能促进学生的思维和对数学的理解。五、结果与讨论（一）基于课程标准和学情进行中观层面的教学设计常言道“教无定法”，教师不应在听完公开课后进行简单地模仿设计，因为每个学校的学生层次不同，教师的教学风格不同，而是应尝试进行中观层面的设计。这要求教师基于课程标准，关注课程三维目标的有机结合及其在一个单元中的系统呈现；根据课程标准的要求设定单元教学目标并合理分解至每一课时。这不是简单地对知识进行重整，而是基于学情、基于学科内容和学科本质、基于执教教师的风格和特点，