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1、4 4 平面运动多刚体系统平面运动多刚体系统 运动学运动学 机械系统动力学机械系统动力学 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学本章内容本章内容 工程中的复杂机械系统是由多个具有相对运动的构件工程中的复杂机械系统是由多个具有相对运动的构件 组成，通过运动副（铰）相互连接。组成，通过运动副（铰）相互连接。 对于低速运动的实际工程对象，其零部件的弹性变形对于低速运动的实际工程对象，其零部件的弹性变形 基本不影响其大范围运动的运动性态，此时系统中的物体基本不影响其大范围运动的运动性态，此时系统中的物体 可作为
2、刚体假设，这样的多体系统称为可作为刚体假设，这样的多体系统称为多刚体系统多刚体系统。当多。当多 刚体系统的各运动构件作平面运动时，多体系统称为刚体系统的各运动构件作平面运动时，多体系统称为平面平面 运动多刚体系统运动多刚体系统。 本章针对平面运动多刚体系统运动学问题，进行力学本章针对平面运动多刚体系统运动学问题，进行力学 模型建立、数学模型建立、数值计算和结果输出的介绍。模型建立、数学模型建立、数值计算和结果输出的介绍。 同时选取一些典型工程实例，利用同时选取一些典型工程实例，利用ADAMS软件进行数值软件进行数值 仿真。仿真。 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多
3、 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.1 平面运动多刚体系统的位形描述平面运动多刚体系统的位形描述 如图，对于由如图，对于由N个作平面运动刚体组成的多刚体系统，在个作平面运动刚体组成的多刚体系统，在 运动平面上定义一公共参考基，记为运动平面上定义一公共参考基，记为 ，基点记为，基点记为O。 取刚体取刚体Bi(i=1,N)上某点上某点Ci为基点建立一连体基，记为基点建立一连体基，记 为为 ，连体基的基点，连体基的基点Ci相对公共参考基的基点相对公共参考基的基点O的的 矢径记为矢径记为 ，该矢量在公共参考基，该矢量在公共参考基 的坐标列阵为的坐标列阵为 Tx yeT
4、iiix yeireT iiix yr机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.1 平面运动多刚体系统的位形描述平面运动多刚体系统的位形描述 刚体刚体Bi的位形由位置坐标阵的位形由位置坐标阵 与姿态角与姿态角 （公共基与连体（公共基与连体 基基x正向夹角）确定，它们构成了刚体正向夹角）确定，它们构成了刚体Bi的位形坐标阵，的位形坐标阵， 记为记为 TTT,1,iiiiix yiNqriri组集这组集这N个坐标列阵，构成了描述多刚体系统的个坐标列阵，构成了描述多刚体系统的位形坐标位形坐标 列阵（广义坐标列
5、阵）列阵（广义坐标列阵） TTT 1Nqqq该坐标列阵的坐标个数（系统的该坐标列阵的坐标个数（系统的自由度自由度）为）为n=3N。 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.1 平面运动多刚体系统的位形描述平面运动多刚体系统的位形描述 其中，其中， 为点为点P相对于连体基基点相对于连体基基点Ci的矢径；的矢径； 为连体基为连体基 关于公共基关于公共基 的方向余弦矩阵，可表示为的方向余弦矩阵，可表示为 iAieecossin sincosiiiii AP i设点设点P为固结在刚体为固结在刚体Bi上的任意一
6、点，上的任意一点， 为点为点P相对公共基相对公共基 基点基点O的矢径，则其可表示为的矢径，则其可表示为 PP iiirrP irPiP iiirrA 或或 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.2 系统的运动学和驱动约束方程系统的运动学和驱动约束方程 平面多刚体系统的运动学约束方程一般可表达为平面多刚体系统的运动学约束方程一般可表达为 ( ) Kq0T1KKK s s为约束方程的个数，方程为约束方程的个数，方程不显含时间和速度项不显含时间和速度项。如果上。如果上 述述s个完整约束的约束方程相互独立，
7、系统的自由度为个完整约束的约束方程相互独立，系统的自由度为 其中其中 3nsNs 1. 运动学约束方程运动学约束方程 一般情况下，多刚体系统中一个刚体的运动限制另一个刚一般情况下，多刚体系统中一个刚体的运动限制另一个刚 体的运动，将这种体的运动，将这种限制邻接刚体运动的约束限制邻接刚体运动的约束称为称为铰（或运铰（或运 动副）动副）。 由于约束的存在，描述多刚体系统的位形坐标不完全独立，由于约束的存在，描述多刚体系统的位形坐标不完全独立， 在运动过程中，它们存在着约束关系，这些约束关系的解在运动过程中，它们存在着约束关系，这些约束关系的解 析表达式构成了析表达式构成了运动学约束方程运动学约束方
8、程。 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.2 系统的运动学和驱动约束方程系统的运动学和驱动约束方程 平面多刚体系统的平面多刚体系统的驱动约束方程驱动约束方程可表达为可表达为 ( , ) Dtq0T1DDD其中其中 2. 驱动约束方程驱动约束方程 对于有对于有n个坐标，个坐标，s个独立约束方程的系统，为了确定各位个独立约束方程的系统，为了确定各位 形坐标随时间的变化规律，一般可采用附加驱动约束的方形坐标随时间的变化规律，一般可采用附加驱动约束的方 法，需要附加与系统自由度相同的法，需要附加与系统自由
9、度相同的驱动约束（非定常约束，驱动约束（非定常约束， 显含时间项）显含时间项）。 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.2 系统的运动学和驱动约束方程系统的运动学和驱动约束方程 将系统的运动学约束方程与驱动约束方程组合，构成平面将系统的运动学约束方程与驱动约束方程组合，构成平面 运动多刚体系统的运动多刚体系统的一组新的位形约束方程一组新的位形约束方程 ( )( , )( , )KDttq q0q可以看出，上式是含有可以看出，上式是含有n个位形坐标的非线性代数方程组。个位形坐标的非线性代数方程组。 该
10、方程组的方程个数为该方程组的方程个数为n，参变量为时间，参变量为时间t，由此方程组可，由此方程组可 解得系统位形坐标列阵解得系统位形坐标列阵q的时间历程。的时间历程。 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.2 系统的运动学和驱动约束方程系统的运动学和驱动约束方程 其中其中 为约束方程的为约束方程的雅克比（雅克比（Jacobi）矩阵）矩阵。 3. 速度和加速度约束方程速度和加速度约束方程 将位形约束方程将位形约束方程 ( )( , )( , )KDttq q0q对时间对时间t求导，可得速度形式的约束方
11、程求导，可得速度形式的约束方程 tq q0或或 ,t q qvvq1111nnnnqqqq qq机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.2 系统的运动学和驱动约束方程系统的运动学和驱动约束方程 其中其中 将速度约束方程将速度约束方程 对时间对时间t求导，可得加速度形式的约束方程求导，可得加速度形式的约束方程 tq q0或或 q q0q q2tttq qq qq q速度和加速度约束方程分别为关于速度和关于加速度速度和加速度约束方程分别为关于速度和关于加速度 的线性代数方程组。的线性代数方程组。 机 械
12、系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.3 常见平面铰的运动学约束方程常见平面铰的运动学约束方程 1. 平面转动铰平面转动铰 下图为一平面转动铰的示意图，铰接点下图为一平面转动铰的示意图，铰接点P与铰接点与铰接点Q重合，重合， 与它们关联的刚体为与它们关联的刚体为B和和B。 约束条件：约束条件：在运动过程中，固结在刚体在运动过程中，固结在刚体B的点的点P与固结在与固结在 刚体刚体B的点的点Q始终重合。始终重合。 坐标系：公共基坐标系：公共基 和各刚体的连体基和各刚体的连体基 、 。 x yx yxy机 械 系
13、 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.3 常见平面铰的运动学约束方程常见平面铰的运动学约束方程 平面转动铰平面转动铰运动学约束方程运动学约束方程的矢量式为：的矢量式为： 由该式可知，由该式可知， ， ， 和和 为参数，式中含有为参数，式中含有2个独立方个独立方 程，因此两个刚体的相对自由度为程，因此两个刚体的相对自由度为3-2=1。 0PQPQrrrr矩阵形式为：矩阵形式为： PQ rA rA 0式中，式中， 和和 分别为连体基分别为连体基 和和 的基的基 点在公共基点在公共基 上的坐标阵，上的坐标阵， 和和
14、 分别为两个连体基的方分别为两个连体基的方 向余弦阵。向余弦阵。 T,xyrT,xyrx yxyx yAAP Q 机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.3 常见平面铰的运动学约束方程常见平面铰的运动学约束方程 2. 平面滑移铰平面滑移铰 下图为一平面滑移铰的示意图。下图为一平面滑移铰的示意图。 约束条件：约束条件：与该铰相关联的刚体与该铰相关联的刚体B和和B各自相对于同一各自相对于同一 条轴线（移动轴线条轴线（移动轴线I-I）作平行移动。）作平行移动。 在移动轴上定义铰接点在移动轴上定义铰接点P和和
15、Q分别固定在刚体分别固定在刚体B和和B上，上， 矢量矢量 为点为点P相对点相对点Q的矢径。的矢径。 坐标系：公共基坐标系：公共基 和各刚体的连体基和各刚体的连体基 、 。 x yx yxyh机 械 系 统 动 力 学机 械 系 统 动 力 学4平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学平 面 多 刚 体 系 统 运 动 学4.3 常见平面铰的运动学约束方程常见平面铰的运动学约束方程 矢量矢量 可表示为：可表示为： 根据平面滑移铰的特征，有根据平面滑移铰的特征，有 ， ，且可得到，且可得到 /dhPQPQhrrrr该矢量在公共基上的坐标阵为：该矢量在公共基上的坐标阵为： PQ hrA rA 式中，式中， 和和
