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1、文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 12008 年研究生入学考试数学一试题及分析年研究生入学考试数学一试题及分析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数( )()20ln 2dxf xtt=+，则( )fx的零点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析分析】本题考查变上限积分求导. 【详解详解】令( )()22 ln 20fxxx=+=，得0x =，故选（B）. 【评注评注】以下是变上限积分求导的推论： 设函数( )f x在
2、 , a b上连续，函数( ) x可导，( )( )( )dxaF xf tt=，则 ( )( ( )( )F xfxx=. 类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理工类）P84【例【例 3.31】. （2）函数(),arctanxf x yy=在点()0,1处的梯度等于 （A） i （B）i （C）j （D） j 【分析分析】本题考查梯度的计算. 【详解详解】()()()0,10,1arctanarctan grad,xx yyf x yijxy =+()20,122111x yyiji xx yy =+=+. 故选（A）. 【评注评注】函数(),uf x
3、y=的梯度为graduuuijxy=+. 完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理工类）P302【例【例 11.22】. （3）在下列微分方程中，以123ecos2sin2xyCCxCx=+（123,C C C是任意常数）为通解的是 文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 2（A）440yyyy+= （B）440yyyy+= （C）440yyyy+= （D）440yyyy+= 【分析分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手. 【详解详解】因为123ecos2sin2
4、xyCCxCx=+（123,C C C是任意常数）为通解， 所以微分方程的特征值为1, 2i. 于是特征方程为()()()1220ii+=，即32440+=. 故微分方程为 440yyyy+=，故选（D）. 【评注评注】本题考查微分方程解的结构. 因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对 应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根. 完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理工类）P144【例【例 5.17】 ，文登强化班讲 义高等数学第】 ，文登强化班讲 义高等数学第 7 讲【例讲【例 9】 ， 【例】 ， 【例 10】. （4）设函
5、数( )f x在(), +内单调有界， nx为数列，下列命题正确的是 （A）若 nx收敛，则 ()nfx收敛 （B）若 nx单调，则 ()nfx收敛 （C） 若 ()nfx收敛， 则 nx收敛 （D） 若 ()nfx单调， 则 nx收敛 【分析分析】利用单调有界数列必收敛. 【详解详解】若 nx单调，而由题设可知函数( )f x在(), +内单调有界，则 ()nfx单调有界，故收敛，故选（B） 【评注评注】本题为基础题型. 定理可见各教材和辅导讲义定理可见各教材和辅导讲义. （5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若3AO=，则 （A）EA不可逆，EA+不可逆 （B）EA不可逆，EA+可逆
6、 （C）EA可逆，EA+可逆 （D）EA可逆，EA+不可逆 【分析分析】从3AO=入手. 【详解详解】()()332AOAEEAEAAEE=+=+=，所以AE+可逆， ()()332AOAEEEAAAEE= +=，所以EA可逆， 文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 3故选（C）. 【评注评注】也可这么求解： A是幂零矩阵， 只有零是其特征值， 所以1不是其特征值， 故EA和EA+都可逆 . 完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理工类）P367【例【例 2.27】 ，文登强化班讲 义线性代数第】 ，文登强化班讲 义线性代数
7、第 2 讲【例讲【例 4】. （6）设A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(), ,1xx y z A yz = 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为 （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析分析】由图可看出此二次曲面为旋转双叶双曲面. 【详解详解】旋转双叶双曲面的标准形式为2222221xyz abb=，所以A的正特征值的个数为 1，故选（B）. 【评注评注】 本题为一道线性代数与空间解析几何的综合题， 关键要记住标准二次曲面的方程和 图形. 标准二次曲面的方程和图形见标准二次曲面的方程和图形见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理工类）P
8、227. （7）随机变量,X Y独立同分布，且X的分布函数为( )F x，则max,ZX Y=的分布函数为 （A）( )2Fz （B）( )( )F x F y （C）( )211F x（D）( )( )11F xF y 【分析分析】本题考查二维随机变量函数的分布，利用定义并结合,X Y独立性进行计算. 【详解详解】max,P ZzPX Yz的一切x，级数0n n na x=发散. 类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）精选习题七（版数学复习指南 （理工类）精选习题七（7） （12）设曲面是224zxy=的上侧，则2d dd dd dxy y zx z xxx y+=【分析分析
9、】利用高斯公式即可. 【详解详解】添加曲面22 1:0,4zxy=+，下侧，则 2d dd dd dxy y zx z xxx y+1122d dd dd dd dd dd dxy y zx z xxx yxy y zx z xxx y+=+?()112221d d dd d0d d2y x y zxx yxyx y=+=+文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 6222001dd42r rr=. 【评注评注】d d d0y x y z=是因为被积函数关于y是奇函数，关于zOx面对称. 完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理
10、工类）P297【例【例 11.16】 ，文登强化班讲 义高等数学】 ，文登强化班讲 义高等数学12 讲【例讲【例 5】 （13）设A为 2 阶矩阵，12, 为线性无关的 2 维列向量，12120,2AA=+，则A的非零特征值为 . 【分析分析】本题考查矩阵特征值及相似矩阵的性质. 【详解详解】12120,2AA=+，则()()121202,01A =. 令()12,P =，所以102 01P APB=，即,A B相似，有相同的特征值， 易求出B的特征值为 0，1，所以A的非零特征值为 1. 【评注评注】也可以这么做. 显然 0 是A的特征值，对应的特征向量为1. 由 12120,2AA=+可得
11、()()211212221 2AAA+=+= +， 因为12, 线性无关，所以112,2+线性无关. 故 1 是A的另一特征值. 类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类） 【例版数学复习指南 （理工类） 【例 5.26】 ，文登强化班讲义线性 代数第，文登强化班讲义线性 代数第 5 讲【例讲【例 15】. （14）设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则2P XEX= . 【分析分析】先写出服从参数为 1 的泊松分布的概率分布，然后求解. 【详解详解】服从参数为 1 的泊松分布的概率分布为：()1e !P Xii = 而()221 12EXDXEX=+= + =， 所以1 2e
12、1222eP XEXP X =. 【评注评注】本题考查泊松分布的概率分布和数字特征. 请记住 ( ):()e,0,1,2,!k XPP Xkkk=?；EXDX=. 文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 7相关结论见相关结论见 08 版数学复习指南 （理工类）第三篇第二章和第三章中的知识点精讲版数学复习指南 （理工类）第三篇第二章和第三章中的知识点精讲. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） (本题满分 9 分) 求极限()40sinsin sinsinlim xxxxx. 【分析分析】利用等价无穷
13、小代换和洛必达法则即可. 【详解详解】()()4300sinsin sinsinsinsin sinlimlim xxxxxxxxx= ()20coscos sincoslim3xxxx x= ()20cos1 cos sinlim3xxxx= ()222001sin1 cos sin12limlim336xxxx xx=. 【评注评注】本题为基础题型. 类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习指南 （理工类）P25【例【例 1.24】 ，文登强化班讲义高 等数学第】 ，文登强化班讲义高 等数学第 1 讲【例讲【例 17】. （16） (本题满分 9 分) 计算曲线积分
14、()2sin2 d21d Lx xxy y+， 其中L是曲线sinyx=上从点()0,0到点(),0的一段. 【分析分析】本题考查曲线积分的计算.，利用将路径表达式可直接代入被积式中的特点简化运 算. 【详解详解】()2sin2 d21d Lx xxy y+()20sin2 d21 sincos dx xxxx x=+2000sin2 dsin2 dsin2 dx xxx xx x=+20sin2 dxx x=201dcos22xx= 2 2 0011cos22 cos2 d222xxxx x= += . 【评注评注】本题为基础题型. 类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南 （理工类）版数学复习
