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1、28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（2 2） 探究探究 如图，在如图，在RtABC中，中，C 90，当锐角，当锐角A确定时，确定时， A的对边与斜边的比就随的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？间的比是否也确定了呢？ 为什么？为什么？ A B C 邻边邻边b 对边对边a 斜边斜边c 当锐角当锐角A的大小确定时，的大小确定时，A的邻边与斜边的比我们把的邻边与斜边的比我们把A的的 邻边与斜边的比叫做邻边与斜边的比叫做A的余弦（的余弦（cosine），记作），记作cosA，即，即 cb 斜边A的的邻cosA情情 境境 探探 究究 1、s
2、inA、cosA是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角( 注意注意数形结合数形结合，构造直角三角形，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA是一个是一个比值比值（数值数值）。）。 3、sinA、 cosA的大小只与的大小只与A的大小的大小有关，而与有关，而与直角直角 三角形的边长三角形的边长无关。无关。 如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90， 正弦正弦 余弦余弦 当直角三角形的一个锐当直角三角形的一个锐 角的大小确定时角的大小确定时，其对边其对边 与邻边比值也是惟一确定与邻边比值也是惟一确定 的吗？的吗？ 想一想想一想 比一比比一比 在直角三角形中，在直角三角
3、形中，当当锐角锐角A的度数一定时，不管三角的度数一定时，不管三角 形的大小如何，形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个的对边与邻边的比是一个固定值。固定值。 BC BC AC AC 所以所以 AC BC AC BC 即即 AC BC AC BC 问：问： 有什么关系？有什么关系？ 如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90， 我们把锐角A的对边与邻边的比 叫做A的 正切正切，记作 tanA。 一个角的正切一个角的正切 表示表示定值定值、比比 值值、正值正值。 ba AAA的邻边的对边tanA B C 思考：思考：锐角A的正切值可以 等于1吗？为什么？ 可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值
4、，sinA、cosA、tanA都 有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、 正切叫做A的锐角三角函数的锐角三角函数。 例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC6，sinA ，求，求 cosA、tanB的值的值 53解：解： ABBCAsin10356sinABCAB又又 86102222BCABAC,54cosABACA34tanBCACBA B C 6 例例 题题 示示 范范 变题：变题： 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，cosA ，求，求 sinA、tanA的值的值 15 17解：解： 15cos17ACAAB88sin,1717BCkAABk88tan
5、1515BCkAACkA B C 例例 题题 示示 范范 设设AC=15k，则，则AB=17k 所以所以 2222(17 )(15 )8BCABACkkk下图中下图中ACB=90ACB=90，CDAB,CDAB,垂足为垂足为D D。指出。指出A A和和B B 的对边、邻边。的对边、邻边。 试一试：试一试： A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的邻边和斜边同时的邻边和斜边同时 扩大扩大100100倍倍,tanA,tanA的值（
6、的值（ ） A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定 A B C C C 试一试：试一试： 例例3： 如图，在如图，在RtABC中，中，C90 例例 题题 示示 范范 1.求证：求证：sinA=cosB，sinB=cosA 2.求证：求证： sintancosAAA3.求证：求证： 22sincos1AA B C 2sinsinsinAAA例例4： 如图，已知如图，已知AB是半圆是半圆O的直径，弦的直径，弦AD、BC相交于点相交于点P，若，若 例例 题题 示示 范范 DPB 那么那么 ( ) CD AB 1.sin, .co
7、s , .tan,.tanABCDB 变题：变题： 如图，已知如图，已知AB是半圆是半圆O的直径，弦的直径，弦AD、BC相交于点相交于点P，若，若 AB=10，CD=6，求，求 . sin O C D B A P 4sin5小结 如图，如图，RtABC中，中， C=90度，度， 因为因为0sinA 1, 0sinB 1, tan A0, tan B0 A B C 0cosA 1, 0cosB 1, 22sincos1所以，对于任何一个锐角所以，对于任何一个锐角 ，有，有 0sin 1， 0cos 1， tan 0， sin,cos,tanBCACBCAAAABABACsin,cos,tanAC
8、BCACBBBABABBCsincos cossin 1tantanAB ABAB 1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值 练练 习习 解：由勾股定理解：由勾股定理 222213125BCABACA B C 13 12 5sin13BCAAB12cos13ACAAB5tan12BCAAC12sin13ACBAB5cos13BCBAB12tan5ACBBC2. 在在RtABC中，如果各边长都扩大中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角倍，那么锐角A的正弦值、余的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？弦值和正切值有什么变化？
9、A B C 解：设各边长分别为解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为的三个三角函数分别为 sincostanabaAAAccb，则扩大则扩大2倍后三边分别为倍后三边分别为2a、2b、2c 2sin2aaAcc2cos2bbAcc2tan2aaAbb A B C 3. 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC8，tanA ， 求：求：sinA、cosB的值的值 43A B C 8 解：解： 3tan4BCAAC8AC 338644BCAC 63sin105BCAAB22228610ABACBC63cos105BCBAB4. 如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的高，
10、边上的高，tanB=cosDAC, （1）求证：）求证：AC=BD； （2）若）若 ，BC=12，求，求AD的长。的长。 12sin13C D B C A 5. 如图，在如图，在ABC中，中， C=90度，若度，若 ADC=45度，度，BD=2DC， 求求tanB及及sinBAD. D A B C = a c 的斜边的对边AAsinA= 小结小结 回顾回顾 在在RtRtABCABC中中 及时总结经验，要养成积累及时总结经验，要养成积累 方法和经验的良好习惯！方法和经验的良好习惯！ = b c 的斜边的邻边AAcosA= = a b 的邻边的对边AAtanA= 定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题: : 回味回味 无穷无穷 1 1、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA是在是在直角三角形直角三角形中定中定 义的，义的，A A是是锐角锐角( (注意注意数形结合数形结合，构造直角三，构造直角三 角形角形) )。 2 2、sinAsinA、 cosAcosA、tanAtanA是一个是一个比值比值（数值数值）。）。 3 3、sinAsinA、 cosA cosA 、tanA的大小只与的大小只与A A的大小的大小 有关，而与有关，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关。无关。
