《理解数学是进行有效教学设计的前提》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理解数学是进行有效教学设计的前提（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 7年第 1 1 期 中学数学研究 理解数学是进行有效教学设计 的前提 江苏省无锡市立人高级 中学 ( 2 1 4 1 6 1 ) 郑宝生 赵 勤 要上好 一堂课 ， 一旦教师确定后， 关键在 于教 学设计 我们很赞 赏章建 跃先生的“ 三个理解” ， 其 中， “ 理解数 学”是进行有效教学设计的前提 作 为 教 师， 不仅要理解所教 内容 “ 是什 么” ， 还要弄清知 识 的整个体 系及知识的前后联 系， 挖掘数学知识所 蕴含的思想方法及解题过程 中所反映的思维策略 1 理解数学体系， 让学生体会到数学的研究方法 我们 的课 堂教学既要教 学生学习每个知识， 又 要让学生理解每
2、一章 的知识结构 ， 并体会到数学 自 身的知识体系以及研究方法， 而对数学知识体系和 研 究方法的认知， 影响学生对数学整体的认 知和从 数学角度看待问题的数学意识， 正如普通高 中 数 学课程标准所谈到的： “ 通过类比、 联 想、 知识的迁 移和应用等方式， 使学生体会知识之间的有机联系 ， 感受数学的整体性， 进一步理解数学的本质 ， 提高解 决 问题 的能力” 所 以说数 学教 师要有较高 的数 学 素养， 较高的理解水平， 能够从整个数学知识体系的 角度理解数学， 抓住主要知识， 厘清从 属关系， 形成 逻辑结构 在高中数学的 平面向量一章中， 最重要的是 平面 向量基本定理， 换
3、句话说就是平面 向量 的线性 表示 如果要追 问， 平面 向量线性表 示的基础是平面 向量的加减和数乘运算， 而加减数乘运算的基础是 平面向量的大小和方 向； 如果看其变化 ， 平面向量线 性表 示的特殊情况是平 面向量 的坐标表 示， 它使得 平面向量的内容更加 丰富， 平面 向量数量积 的应用 更加广泛 厘清其 中的关系， 做到心 中有数， 才能设 计好课堂教 学例 如 ， 苏教 版 普 通高 中数 学 必修 4 向量的概念 与表示的教材 中， 先给出向量的定 义 ， 讨论 了零 向量和单位 向量后 ， 给 出思考 ： 平面直 角坐标系内， 起点在原点的单位向量， 它们终点的轨 迹是什么
4、图形? 然后定 义平行 向量 ， 再定义相 等 向 量， 这样 ， 从知识的角度讲 ， 割裂 了知识 间的内在联 系， 从学生心理的角度看， 缺少具体的事例和必要的 情境， 平行向量出现的有点突然， 不够清晰， 不够自 然 站在数学知识体系的高度来看待向量， 抓住向量 的大小和方 向这两根主要线索， 引导学生从定义、 表 示、 大小特殊和方向特殊这样的顺序展开， 整合设计 流程如下： ( 1 ) 向量的定义： 大小、 方向( 两个要素) ； ( 2 )向量的表示( 略) ； ( 3 )大小特殊的向量 零 向量、 单位 向量； ( 4 )方 向特殊 的向量 同向向 量、 反向向量； ( 5 )同
5、向向量 的特殊情况 相等 向量； ( 6 )反 向向量的特 殊情况 相反 向量 最 后让 学 生 讨论 “ 怎样 的 向量 才 能称 之 为 平 行 向 量? ” ， 如此设 计， 一方面没有打破 数学知识体 系 的 逻辑性和整体性， 另 一方面， 条理更清晰， 学生容易 参与进来 ， 不仅有益于“ 平行 向量”概念 的理解 ， 而 且能让 学生体会到数学 自身 的逻辑体系， 能更好 的 理解数学， 把握数学的本质 2 理解数学概念， 让学生感受到数学的形成过程 高中数学概念有许多， 其核心概念无疑是教学 的重中之重 作为教师要在平时的教学中不断揣摩、 不断思考 ， 参透其真实 内涵， 把握其
6、本质属性 例如， 函数单调性定义： “ 函数 Y= )的定义域为 4， 区 间 ， A 如果对于区间 ，内的任意两个值 、 ： ， 当 1 2 时， 都有厂 ( 1 ) 2 ) ， 那么就说Y= ) 在区间， 上是增函数， ， 称为Y= )的单调增区 间 ”这个定义对于刚刚进入高中的学生来说， 太 高、 太远、 太抽象， 课堂教学会一边倒 ， 成为 了教 师的 “ 战场” ， 学生无法融入其中， 只能靠记忆， 其它的时 间靠解题来慢慢感悟吧 按 照裴光亚老师的说法， 这 样 的课 堂教学就不是教 学， 因为没有学生参与的可 能性 是什么原 因所导致? 是我们对 函数单调性定义 没有渗悟透彻 第
7、一， 要通过一个具体 函数让学生参 2 与举例， 如厂 ( 1 ) 2 ) ) 2 ) 3 ) 4 ) 等无穷无尽 ， 但要求学生写出所有的例子 学生不得 不去思考 问题， 想 出办法： 区间 ，内的任意两个值 l、 2 ，当 l 2 时， 都有 1 ) 2 ) 用字母来代 替数字， 让 学生真正体会 到代数 的强大作用 第二， 学生虽然明白字母代替数 字， 并不 明 白“ 任意 两个 值 、 ： ”的真实用 意， 所 以要从反面来追 问： 在 区 间内取两个 值， 如 。：2 ， x =3 ， 有 2 ) 厂 ( 3 ) ， 能否说明 )的图像在 区间 2 ， 3 内是上升的? 说 明理 由
8、； 在 区间内取 四个 值呢? 何种情况下， 才能保证函数厂 ( )的图像在区间内是一致上升的? 通过 画图举反例让学生找 出， 要满足 区间 内任意 的 两个 值， 否则 函数 图像就不能一致上升 总之， 让 学生参与解决两个问题： ( 1 ) 用两个字母来代替无 穷个数字； ( 2 )这两个字母代替 区间内的所有数字， 一个都不能少 这两个 问题都体 现 了由量变到质变 这样一个认知规律 ， 从历史角度看 ， 代数的出现具有 2 中学数 学研 究 2 0 1 7年第 1 1期 划时代意义， 因为人们 的认知 由于字母 的引入而发 生质的改变 这种返璞 归真的教育 ， 充分体现 了数学 概念
9、 的形成过程 3 理解数学解题 ， 让学生领悟解题背后 的策略 与思想 波利亚说过， 问题是数学的心脏， 众所周知， 数 学学习离不开解题 ， 解题能力差 的数学教 师不会是 一个好教 师 对于数学教师只会解题还不够， 还要善 于归纳总结 ， 善于反思提炼 ， 要体会其关键所在 ， 挖 掘其 中所蕴含的教育价值 ， 这种教育价值 ， 不仅仅是 知识的运用和解题的方法 ， 还要关注各种方法之间 的差异与联 系， 更要关注解题策略、 数学思想 以及精 神追求 在苏教版普通高中数学必修 4中， 习题 3 2 第 9题 ： 已知 s i =ms i n ( 2 a+ ) ， 且 +卢 + ( kz)
10、， ( kz) ， 1 求证： t a n ( + )： t a n 1一m 解法 一 ：由 s i n fl = m s i n ( 2 a + )得 t a n fl = ro s i n 2 +s 2 - t a ， 则 t a = ( 在卢 + 7 r ( kZ) ， 且分母不为零的情况下) ， 代入 两角和 的正切公 式中， t a n ( +口 ) 一 二 ： ： 璺 Q 一 c 0 s mc o s 2 a c 0 s 一 ms i 2 s i n ： t a n 0 f 1一m 解法二： 由已知得 m = ( 在分母不 为零 的情况下) ， 代入 t a n ： 上 t a n
11、 s i n ( 2 a+ )一s i 一 = 昔 sin ta n sin ( a + ) + 一 ( + 届 ) 一 =t a n ( + ) 解法三 ： 由已知得 s i n ( + )一 =ms i n ( + 卢 )+ ， 所 以( 1一m ) s i n ( + ) c o s =( 1+ m ) c o s ( + ) s i n a ， 可 得t a n ( + JB ) = 一 t a n 在这里并不想论述一题多解 ， 也不想阐释各种 变式， 是想说 明， 对于教 师应该如何理解这三种不同 的解题过程 ， 解法一是先化筒后求值 ， 解法二是代入 消元， 解法三是变角法 我们要
12、追 问三种不同解法的 背后有着怎样 的支撑 ， 它们体现 了一个共 同的解题 策略： “ 减少未知量” ， 体现 了求简的思想 在 数学解 题中， 所有的消元法都是在减少未知量， 所有的换元 法都能使运算简单 ， 我们所说 的化简就是化繁为简 的过程， 都反映 了人们 求“ 简“ 的一种精 神追求 其 次， 三种不同解法有着怎样的考量 解法一对 已知条 件的化简 ， 化简不到位无法与 目标对接， 化简过 头又 会离 目标太远 ， 火候很难掌控 如果没有一点经验和 思想的支撑 ， 是很难找到解题思路的 我们抓住 目标 中只有一个角JB ， 所以不顾一切地用 t a n a表示t a n fl，
13、从而消去角 ， 最 后面对 的都是 t a n a， 当然 能证 出 来 这样的策略显得比较生硬， 给人 以顾头不顾尾的 感觉， 原 因是对 目标简单、 肤浅 的感知， 导致 问题解 决过程中运算量增加 解法二也是这样， 只是专注于 消去 m， 使得运算量未曾减少 而解法三感知到的是 问题的整体 ， 其策略是把条件与结论有机地结合在 一起 ， 结论 中有角( + ) 、 ， 按照减少未知角的思 路， 把 已知条件 中的角 卢和 2 +卢都化为( + ) 、 ，所 以解起来很 轻松 最后 ， 从 学生的角度看待 三 种解法， 他们更愿意接受解法一和解法二， 因为代入 消元法是初 中学生熟知 的方
14、法， 而他们 的计算能力 却达不到要求， 导致证 明困难 然而有 了解法一的消 去角 ， 才容易联想到解法二的消去 m， 通过解法二 中s i n ( 2 a+ )s i n 的化简过程， 可以轻松地整理 出解法三的思路 “ 变角”即角的变换 ， 是本章 的主 体 内容 三角变换的重要变换 ， 需要学生理解并 掌握 因此， 数学解题后 ， 教师需要引导学生思考， 不 同解法有怎样的差异? 产生这些差异的原 因是什么? 它们之间有着怎样的联系? 不同解法的背后有怎样 的思想支撑? 才能让我们 的解题更有效果 作为一个数学教师必须要理解好数 学， 理解数 学的知识体 系和研 究方法； 理解数 学的
15、每 一个概念 及其本质属性； 理解数学解题 的每 一个 步骤和蕴含 的思想方法 当然， 还要理解学生， 让 我们 的课 堂教 学更有针对性； 要理解教学， 让我们 的课堂教学更符 合规律 ， 更有实效； 理解人 生， 让 我们 的课 堂教 学更 有哲理， 内涵丰富更有教育意义 参考文献 1 中华人民共和国教育部制订 普通高中数学课程标准 ( 实验) M 北京： 人民教育出版社， 2 0 0 3 2 王华民， 郑宝生， 阮必胜 教师“ 贴地而行” ， 学生“ 翩翩起 舞” J 数学通报， 2 0 1 4 5 3 梁莉娟， 郑宝生， 王华 民 遵循三个理解的问题探究 ， 彰 显学生的主体地位 J 中国数学教育 ( 高中版) 2 0 1 7 1 2
