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1、2000 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一填空题 1设 a,b,c 的平均数为 M， a,b 的平均数为 N，N、c 的平均数为 P，若 abc，则 M 与 P 的大小关系是（ ） 。 （A）MP； （B）MP； （C）MP； （D）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返回 b 千米 （ba1,bb1,cc1，则S与S1的大小关系一定是（ ） 。 （A）SS1； （B）SS1； （C）SS1； （D）不确定。 二、填空题 7、已知：333124+=a，那么32133 aaa+_。 8、如图，在梯形 ABCD 中，AB
2、DC，AB8，BC62，BCD45，BAD120，则梯形 ABCD的面积等于_。 9、已知关于的方程(a-1)x2+2x-a-1=0 的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4 米、6米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_米。 11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6） ，直线bxy+=31恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么 b_。 12、某商场经销一种商品
3、，由于进货时价格比原进价降低了 6.4，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。 （注：利润率=进价进价销售价-100） 三、解答题 13、设m是不小于-1 的实数，使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3-0 有两个不 相等的实数根x1, x2。 （1）若，求 m 的值。 62 22 1=+ xx（2）求22 212 1 11xmx xmx +的最大值。 14、如图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径 为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为 E，AEEC，AB2AE，且 BD2 3 ，求四边形 ABCD 的面积. 15、一幢 33 层的大楼有一部
4、电梯停在第一层，它一次最多能容纳 32 人，而且只 能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯 感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层， 并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接 从楼梯上楼） 2000 年全国初中数学联合竞赛试题答案年全国初中数学联合竞赛试题答案 第一试第一试 一选择题 1. B M3cba+，N2ba +，P22 2cbacN+=+，MP122cba+，abc，122cba+122cbc
5、+=0，即 MP0，即 MP。 2. C. 因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后 S 的变 化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图 （C）正确地表述了题意。 3. A. 由题意知 3（甲乙）2510，甲乙5。 4. B. 在直线 AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 x14N，y25 5N， （N 是整数） 在线段 AB 上这样的点应满足14N0， 且255N0， 41N5，即 N1，2，3，4，5。 5. 答：（B）。由cbaba ba +=得cab ba +=，延长 CB 至D，使 BDAB，于是 CDa+c，在ABC 与DAC
6、中， C 为公共角，且 BC:ACAC:DC，ABCDAC， BACD， BADD， ABCDBAD 2D2BAC。 6. D. 分别构造ABC与A1BB1C1如下：作ABCA1B1BC1，显然1)(211=aa SS，即SS1；设a=b= 101 ,c=20，则hc=1，S10; a1=b1=c1=10 ,则S14310010， 即SS1； 设a=b= 101 ,c=20， 则hc=1， S10; a1=b1=29 , c1=10,， 则hc=2，S110，即SS1；因此，S与S1的大小关系不确定。 二填空题 7. 1。 , 112) 12(3=a，即1213=a。3232133133 aa
7、a aaa+=+=1133323 + aaaa=1121)2(1)11 (333=+a8. 666 3 （平方单位） 作 AE、BF 垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由 BC62，BCD45，得AEBFFC6。 由BAD120， 得DAE30， 因为AE6得DE2 3 ，ABEF8，DC23 86142 3 ，. 36666)32148(21+=+=ABCDS梯形。 9. 5. 当 a=1 时，x=1；当 a1 时，易知 x=1 是方程的一个整数根，再由ax=+121且 x 是整数，知 1-a=1,2，a=-1,0,2,3；由、得符合条件的整数 a 有 5 个。 10. 2.4 米. 作 P
8、QBD 于 Q，设 BQ米，QD米，PQ米，由 ABPQCD，得yxyh +=4及yxxh +=6，两式相加得1125=h，由此得 h=2.4 米。即点 P 离地面的高度为 2.4 米。 （注： 由上述解法知， AB、 CD 之间相距多远， 与题目结论无关。 ） 11. 21直线xy31=通过点 D（15，5），故 BD1。当 b=21时，直线21 31+=xy通过 (0,21), (15,521)两点，则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。 12. 17. 设原进价为 x 元，销售价为 y 元，那么按原进价销售的利润率为xxy 100，原进价降低 6.4后，在销售时的利润率为xxy
9、 %6 .93%6 .93100，依题意得： xxy 1008xxy %6 .93%6 .93100，解得 y1.17x，故这种商品原来的利润率为xxx 17. 110017。 三解答题 13. 解：因为方程有两个不相等的实数根，所以 =4(m-2)2- 4(m2-3m+3) = -4m+40，m0。 当 s0。 当 s0。 今设电梯停在第 x 层，在第一层有 y 人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为： )11(21 )21 (3)33(21 3+=yxyxSLLL = 2) 1)(2( 2) 1(3 2)34)(33(3+yxyxyyxx= 168432)102(216843210222222+=+yyxyxyyxxyx= )306818015(81)2102(222+yyyx=316316)6(815)2102(222+yyx 当 x27，y6 时，S316。 所以，当电梯停在第 27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为 316 分。
