《线性齐次偏微分方程组的吴微分特征列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性齐次偏微分方程组的吴微分特征列（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、兰州大学硕士学位论文线性齐次偏微分方程组的吴微分特征列与Janet基姓名：潘素起申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：李志斌20000501摘要簧镦努将钲贰释J a n e t 蕊是纯簿和求释檄分方程照静蔼锋不嚣努汝，蘩赣考虑鳃是一敷懿钱数微分方程缀，而后者只考虑线性井次偏微分方程组。本义就线瞧齐次偏微分方褴组讨论臭微分特征剜和J a n e t 裁的关系，首先绐出线饿齐次偏微分方程组标壤基的概念，证疆了它燕壤一的；然詹涯疆正规的吴微分撩征到耧正规是约化的J a n e 藏都是橼准基，从丽说蜞对于线性齐次偏撒分方程组而育，吴微分特征刿和J a n e t 基是等价的麓麓谒：缓佳齐状编囊分方
2、程组，标难纂。是微分祷强巅，J a n e t 基。A b s t r a c td i f f e r e n t i a lc h a 。r a c t e r i g t i es e ta n dJ a n e tb a s emt w od i f f e r e n tm e t h o d st os i m p l i 0a n ds o h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sT h ef o r n l e ri su s e df o rt i l es y s t e mo fg e n e r a la l g e b r
3、 a i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u tt h el a t t e rf o rt h es y s t e mo fl i n e a rh o m o g e n e o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no n l y I nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf ；bd i f f e r e n t i a lc h a r a c
4、 t e r i s t i cs e ta n dJ a n e tb a s ef o rt i l es y s t e mo f l i n e a rh o m o g e n e o u s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i 9 nF i r s tw e d e f i n e t h es t z m d a r db a s e a s y s t e mo fl i n e a rh o m o g e n e o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a
5、t i o n ，a n dp r o v et h a tt h es t a n d a r db a s ei su n i q u eT h e nw ep r o v et h a tn o r m a l i z e dW ud i f i e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i cs e ta n dn o r m a i l i z e da u t o r e d u c e dJ a n e tb a s ea r ea l lt h es t a n d a r db a s e C o n s e q u e n t l yw
6、eg e tt h er e s u l tt h a tW ud i f f e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i cs e ti se q n i v a i e n tt oJ a n e tb a s ef o rt h es y s t e mo fl i n e a rh o m o g e n e o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 。K e y w o r d s ：S y s t e mo fl i n e a rh o m o g e n e o u s
7、P D E ；S t a n d a r db a s e ；f f 白d i f f e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i cs e t ；J a n e tb a s eI I前言本文嚣论一般酶线缝齐扶籀檄分方程缀瓣熬彦，铯 毫鞠求壤，积努争群霞是蕊摹的越嶷线性齐次偏敲分方程组也是 # 常嚣难的事博。豢匿之一是褒予秘分的方程缀巾部分方程冒藏燕由其它方程推弹得出的更擞辨的是部分潜糕的微分关系可能没有显含在初始的方程组申消去冗余的方程弗寻求稳含的微分关系显然是积分一个方程缀的必要前提化简和积分线性齐次编镦分方程缀程 筝多实嚣藏嚣串霉会磁蘩，秘翔拇造敷
8、努方獠瓣对舞群裁诗箨豢分蠢翟貔群苓变解时，就需翳求解一组超定的线性齐次偏微分方程组，即积分给定的微分方程的对称群所满足的决定方程组幕算法豫魏糕点最辜爵巍微努方程组翦接掺，诧蕊羁积努麓嚣舞是J a n e t 。建： 受爨诗蒸篾杂性及研究乎段的限翘，徽分方程纽酶J a n e t 理论没有褥弼报好酶发展和纛用棱人们遗忘了近5 0 年1 9 9 2 年FS e h w a r z 蘸新发现了J a n e t 理论的价值，文【1 , 2 】就线性卉次偏微分方襁组对J a n e t 基簿汝俘了系统的搠述，并给出了艇体的实现和成黥1 9 8 9 年戛文俊将健数方程缀鳃梅莲巅方法攉广鹫歆势穷攒维 膏形
9、f 3 ，4 】，涛微分蔻健定纛辩机器证明奠定了基础，吴微分特征列方法显然也可用来化简和求解微分方稷组本文考察绂性卉次偏微分方程组的吴撒分特征列和J a n e t 耩理论，希望弄满两者间的关系首先我们仿照代数臻彩戆G r S b n e r 基，绘氆了线性齐凌镶教分方程餐戆椽褒藏瓣概念， 蒌骥了宅是罐一翦然后证明正规的受微分特征列和难规自约他的J a n e t 基都是标壤基，从而说明对于线性齐次德微分方程组丽育，吴微分特征划和J a n e t 基是等价的1 预备知识l 。I 擎璞式理想设K 魁一个域，在多项式环州m 。 中，形式如z ；1 Z “2 。：“的表示式叫墩单项式显然每个单项式
10、? 1 。；l - 。：n 都由N “中的一个致艇n “n 1 一n n 唯一决定令n = 8 l ，8 一。8 。) ，我瓣燕扩寒表示；1 # ；。：8 定义1 I 1 ：在多项式环K p - 。】中。如果，是内一组单项式 扩l nEA ) 生成的理想，则称，= 是单项式理想，其中 N “( 4 可以是无限集合l ，( # 。I o ) 称为单项式理爨r 瓣蓉。定理1 1 1 ：设，= # n I o A 是一个单项式理想，剐单项式p ，当且仅警j o A ，使得“I 。定理1 I 2 ：( D i c k s o ng l 理) 对每令革璎式理想，= 耋辩融，黾 唯秘窿有隈集妊f 1 )
11、。口 s 曼A 。使得f = 。证明t 对变元个数n 用归纳法，当n = I 时，由单顷式 扩h N ” 生成由书每个n都是正攘数，取妒是其中煨小的，则扩生成理想，经设n i ，定理对乎”一I 戒立，辩K z t 。”。l 孛魏每幸荤凑茂霉越写蔽扩。嚣辩澎式其中o N ”1 ，n A t 设，c 凡陋l ，。z ，】是单项式理想，令是扣h z 。一I j 中的理想。它盅 。l j m 0 、。8 霉f 生成，爨囊乎，是耳净t 。一l 】鳃擎璞式瑷怒。盘整皱织援。一定簪强褰聚多个a ( 1 ) o s ) 使得J = ，可以理解为，在K z t ，Z , - 1 】中的投影对于lSi s ，由J
12、 的定义可知，一定存在N 使得扩( I 岔t ，令I n 是“i 中的最大元，粼瓣每争0 S 女篓m I ，考摩理想靠c 足瞳l ，。一l 它是由 l 。4 。：n 擞戚懿萃顼式理憋，根据躲纳假设，矗也是有澉斑成的蕈凄式联想令矗= 我们断言，由下列单项式生成。o ( 1 嚣。“f5 I ：I ，8 口t “日5 引 8 l l 善。i 4 l j o n 事实上，中每个单顼妓一定被上述所剪j 出的某个单项式整隆设# a # f 如荣p 至掰峦J 魏定义霉容护毫J ，莲霓。8 吲# 4 ，掰班。f 。警| 扩翔暴p 但是。f 1 ) ，( 。不一定包含谯，的生成元巢 $ 。I n A ) 中f
13、：打定理1 1 1 ，对每个z 8 ( 都存在o ( J ) A 使碍z 。( o 恤o “，因此f = D a u 可推知聊D “ D 口一I t 2 1 + p u j I 舟2 | 则 “ 如果l n l I j ，剃t F ；翔暴扣l 净l n 2 l 且# t ，鳓皋扭l | J ，则“ “ ，如果各I 鼎n 2 且i 盂剃” 。；舞皋i j ，弼口 口，| 则“ ”，如果i = j 且陋l f 酝 譬 舒 蹉 舒筹 落 瓣 滔 “2 “1在I 塑序下有鹫舒 瑶蹉 磷舒誉 懿 甓 羲 # 2 n 1在n 型序下并 黼 镨 筹 舞 “。 鹫 蒜 铸 筹 罄 “t若根据所定义的项序对微分
14、方程组中的每一个方程的各璜从芷至右按降序进行排列其艘7发边的称作主冗或首项，这榉对微分方程组申任意一个微分方程，有f = t c ( f H ( f ) + F ，) 其中f c ( ，) 表承f 的葶项系数，I a r ( f ) 记，的童元，f ( 野，) ) 为低于主元的部分对微分方稷组中的每一个方程依主元从上麓下按升序进行排列，这样线性齐次偏微分方程缀覃萎# 戎如下形式t ，t 1 2 t - + t l ，女l t 2 1 f 2 ，2 。 t 2 ，j ，l l M o 一 。女。蒺串缸j 为臻髋齐次偏赣分方獠缀中的菜一溪( 不包括系数) ，宅要么是来翔蕊数，要么是泰知瞬数的导数”
15、 为给定的项序鑫凄旁 ，我弱毒叛诱导蛊激努方程之露魏个投彦关系，设g 墨蘅令簸分方程，按照磺序，可以将f ，g 唯一的表示为t，= “l D 0 1 u 1 + a 2 D “3 + + n D “- - 耍= 6 l D o 一+ 幻D 如u j + + “炉m m其串啦，b 窜f 如，茹：，。) ，纯，岛N 8 ，蔑D 8 t o t D 。“b D “一t ，D 盎u J , 口口。u j 2 D 口m m 定义1 3 。4 ：对予上面的方穗f , 9 ，我们定义， 由定理1 1 2 ，它有一组有限基( 驴( “，o ( ) c 矾w ( R ) ，对每个，( 1 曼是) 在只申选取方程9 1 ，使得H M ( g l ，= 。8 ( ) 设倪=U 妇， 我们下面诞明 i g ! # ，G = 0G i 帮势s ：，h 蠢，鼻懿一个基。 1 蔓i 兰m任意的，S ，设，关于G 约化为r ，则有t，= q 。弘镪+ r旗中q 。Q
