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1、习题 1 1 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。 （1）451.023， 451.01； * 1x1x（2）0.045 113， 0.045 18； * 2x2x（3）23.421 3， 23.460 4； * 3x3x（4）* 4x31， 0.333 3； 4x（5）23.496， 23.494； * 5x5x（6）96， 96.1； * 6x5106x510（7）0.000 96， 0.96* 7x7x310； （8）8 700， 8 700.3。 * 8x8x解：(1) 451.023 =* 1x=1x451.01 =1* 1xx0.01311021，具有 4
2、位有效数字。451.0 1x1x(2) 0.045 113 =* 2x=2x0.045 18 = 无有效位数。 1A6.计算球的体积所产生的相对误差为1%。若根据所得体积的值推算球的半径，问相对误差为多少？ 解： 34=V3R ,4=dVdRR2 32344RdRR VdV=3RdR)(31)(VeRerr 由 )(Ver= 知 21021031)(Rer 7.有一圆柱，高为25.00 cm，半径为20.000.05 cm。试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) hRRV2)(=)(2)(2)()()(2ReRehRRhRReVRRVVerrrr= )(2
3、)(ReVerr005. 02001 2005. 02= 2) 2)(=RSRh )()(22)()()(ReReRhRhReSRRSSerrrr= )()(ReSerr0025. 02005. 0= 答 计算体积的相对误差限为0.005，计算侧面积的相对误差限为0.0025 9.试改变下列表达式，使计算结果比较精确： (1) 21cos1cos1 + xx, 当1x时； (3) xx x+11 211, 当1+=xxf, ),(x时 010cos03)0(=f 方程(B) 有唯一根 1 , 0*x(3) 0sin=xex (C) xex=sin xxfsin)(1=, xexf=)(2方程(
4、C)有无穷个正根，无负根 在22 ,2+kk 内有一根 ，且 )( 1kx02lim)( 1= kxkk在+kk2 ,22内有一根，且 )( 2kx0) 12(lim)( 2=+ kxkk(示图如下示图如下) L3 , 2 , 1 , 0=k )(2xf 1 2 3 4 x (4) 02=xex (D) yxex=22 )(1xf,)(2 1xxf= xexf=)(21 )(2xf方程(D) 有唯一根 1 , 0*x2 1 1 x 当 0x时 0)( xf 0335 3103)535(35)35(=f， 03)0(= x 迭代格式(I)发散 2) 353+= xx, 335 +=xx, 构造迭
5、代格式 3135+=+kkxx， (II) 3235)(+=xx， 32322)35(1 355)35(31)( +=+=xxx 当 3 , 2x时 131 1251 35 1691 35)325(1 35)(33322x时 0)( xf02 . 032 332 . 0) 131(31)31(=f 2 . 0)0(=f 02 . 032 33)31(=f 31, 1* 1x， 0 ,21* 2x， 2 , 1 * 3x1)2 . 03= xx 迭代格式 ， 2 . 03 1=+kkxx, 2 . 0)(3= xx03)(2=xx当0 ,21x时，43)( x， 0 ,212 . 0, 2 .
6、081)0(),21()( kx (1)试问如何将)(xx=化为适用于迭代的形式？ (2)将xxtan=化为适用于迭代的形式，并求5 . 4=x(弧度)附近的根。 解：(1) 由 dydxdxdy1= 将 )(xx= 改写为 )(1xx=, 则 dxxddxxd )(1)(1=当,bax时，11)(1= = ccc cccc ccccccfbf 0)()( xf o3 当 ,bax时 0)(=iniixx = 1 是中的一种向量范数。 解： iniixx = 1 当o10x时 存在使得 0i00ix 0001= =iiiniixxx 00=iixx，ni, 2 , 1L= 0, 2 , 1,
7、0=xnixiL o2 R xxxxiniiinii= = 11o3 , nRxnRyiniiiniiiiniiiiniiyxyxyxyx =+=+=+ 1111)( yx+= 所给 iniixx = 1 为nR上的一个范数 18.设nRx。证明 (1) 212xnxx ; (2) xnxx1; (3) xnxx1。 解： (1) xxxxxniiniinii= =12112 2)(1 212121211)(1(xnxnxxxniiniininii= =(2) xxxxniiini= = 11max1 =xnxnxxininii111max (3) 2121maxxxxxniiini= =xn
8、xnxxininii2112 2)max( 19. 设 A= 121012101求 A，1A，2A及， 。 )(Acond2)(Acond解： 4=A,41=A = = 222250206121012101101210121AAT0164413 222250206 23=+= = AAET0164413)(23=+=f44263)(2+=fNewton迭代格式 44)263(16)44)13( )()( 1+=+ kkkkk k kk kkff 450= 5136.311= 5495.222= 9586.153= 29633.124= 94299. 95= 48979. 86= 66765.
9、77= 29312. 78= 19629. 79= 189534. 710=189534. 711= 00002033. 0)22546. 2810466. 5)(189534. 7()(2+=f 189534. 71= 398207. 52= 412259. 03=68133. 212=A=41 21 452102141 21 411A , 21= A 824)(1= AAACond 17605. 4412259. 0189534. 7)(2=ACond 20. 设qPAA,为nnR上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数 1c ，使得 02cPqpAcAAc21 对一切nnRA均成立。 解
10、：由向量范数的等价性知道存在正常数使得 21,mmpqpxmxxm21 pqpAxmAxAxm21 对nRx成立，于是 当0x时， p qpppqqAmm xAxmm xmAxmxAx121212= 即 p qqAmm xAx12 由此可以得到 p qqxRxqAmm xAx A n210max= 同理，当0x时 q qqqqppAmm xAxmmxmAxm xAx121221 11= q ppxRxpAmm xAx A n120max=即 qpAAmm 21 综合 得 pqpAmmAAmm1221 即 pqpAcAAc21 其中 211mmc=， 122mmc= 22. 设，证明 nn ij
11、RaA=)( =ninjijaA 1122 2解： )(ijaA= = =njjninjjnjijxRxnjjninjjijxRx xRxxxaxxaxAxA nnn12112120 1212102 22 202 2)(max)(maxmax =ninjija 112 =ninjijaA 112习题三 (第 24、25、26、27、29、31、33 题) 24.设nnRA，证明当1)(=G Gauss-Seidel迭代格式发散。 33. 给定线性方程组 52321=+xx5221=+xx(1) 写出SOR迭代格式 ； (2) 试求出最佳松弛因子。 解：(1) 3)25()1 ()( 2)( 1
12、) 1( 1kkkxxx+=+ 2)5()1 () 1( 1)( 2) 1( 2+=kkkxxx (2) UDLA+= )1()(1 UDLDS+=0=SI 0)1()()(1 =+UDLDLD 0)1()( =+UDLD 迭代矩阵的特征方程为 S0)1 (202)1 (3 203= 0)1 (2202)1 (33=02)1 ()1 ( 62=031)1(22=+ 031) 1() 1(2222=+ 0) 1() 161(2222=+ ( *) 22222) 1() 161()161(+=+ =222) 1()1(61 =) 1(612)61(222 =)2261(6122+ 12126116122 2 , 1+= )626()626(12122+=+ 当)626 , 0(时, (*)有两互异实根 0 622 2 当626=时, (*)有两相同实根 当2 ,626( )时, (*)有两共轭复根 y161)(2+=g 1 131)(=g; 0)(=g, 3= 1 626 1)0(=g, 0)23(625)626(2=g 3112461)2(=+=g 12126116122+ ,)626 , 0( )(S 1 )2 ,626( 当 )626 , 0(
