降水统计力学初探

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1、 1降水统计力学初探降水统计力学初探-2- 张学文 2006-8-24 发表电子版 （原写于 1983-1985 年，1985 年新疆气象台油印。2006 变成电子版时在文字、 图、公式排版方面上做了某些小修订，2006-8-5 刘洁 OCR，张学文校订和修订） 第一章基本模型第一章基本模型 本章用例子引入个物理模型。它暂不涉及具体的气象或者分子运动。只要 抓住这个思路的要领，后面介绍它在气象上的各种应用就省去了很多笔墨。有兴 趣对这些思路作进一步了解的读者可以参阅统计物理书籍。 l 幼儿浇花问题幼儿浇花问题 “马克斯威尔所得到的有关分子速度分布的数学方程是自然科学中最难的 方程之一”这是美国

2、大学教材化学原理中的一句话。书作者 W.L.Masterton 和 E.J.Slowaski 在主要想表明马克斯威尔是一位可以与牛顿齐名的天才。但这 里也告诉我们要理解清楚分子运动速度分布的规律是要花费相当的思考力的。 我 们这里研究的降水统计模型也是沿着类似的思路建立起来的。所以，实际上一开 始我们就先碰上一个较难理解的棘手问题。 为了仅仅针对我们的实际需要，把一个较为复杂的问题说得尽量简单，无意 中联想到这个儿童浇花的例子。我想它或许较为容易地说明其中的道理。下面就 从这个儿童浇花的例子下手逐步引入降水的基本统计模型。 在一个大圆圈上一共摆着N盆(例如l 0 O)花。 园圈的中央有一个体积

3、为v(例 如 50 升)的水桶。现在一群二、三岁的幼儿每人拿着一只小水杯（杯的容量为 v，例如 50 毫升） 。把桶中的水一杯杯地全部浇到各个花盆中去。如果仅要求每 个花盆必须浇上水，那么可能会出现什么结局?! 可以想见，由于孩子的无知和任性，会使很多花盆浇了很多水，而另一些花 盆得到的水很少 例如第一盆(其实那个算第一盆我们并没有规定)浇了2 5杯水， 第二盆浇了 l 3 杯水，第三，四，五，盆花得到了 l 0，6，3杯水同样 地，也可能第一，二，三，四盆花分别得到了 4，2l，17，8杯水，等等。 总之浇花的结局是会有很多种的。 现在把问题再扩大一层，设想园丁每天请小朋友们来浇花，这些任性

4、的孩子 势必使每天都有各不相同，几乎无法预测的结果。但是久而久之，园丁或许会形 成这样一个概念，即尽管孩子任性，可是每天浇了 2 O 杯水以上的花盆的总盆数 或许变化并不大。说的再准确一点，即得到一杯、二杯、三杯杯水的花盆数所 分别占有的百分比似乎会有一个最可能的比例关系(分布)存在。 2怎样理解“最可能”三个字?!这个比例关系如果存在，它具体是什么数学形 式?!这是我们关心的问题。 2 实现种结局的具体方法有很多个实现种结局的具体方法有很多个 由于孩子的任性， 每盆花浇了几杯水可以说是随机的。 现在如果仅分析这 100 盆(N 盆)花中仅有一盆花浇了 25 杯水(其他杯数也行)这一情况，那么

5、它会是这 100 盆花中的那盆呢?显然它可能是 100 盆中的任意盆。或者说实现这一个 结局有盆花浇了 2 5 杯水，会有 100 个具体的办法(有时我们对此称为实 现这种结局的方法数为 100，它们是一个含义)。再者，如果 l00 盆中有两盆浇 了 25 杯会有多少具体实现办法呢?这可以接着上面的问题分析对于第一盆浇了 25 杯水的每一个具体办法，有 100 个具体办法)再考虑如何进而实现另一盆也浇 25 杯水时不难看出这一个结局又会有 99 个具体办法。所以 100 盆中有两盆浇了 25 杯球(不是 25 是别的数也一律)水的这种结局一共有 10099=9900 个具体实 现的办法 一种浇

6、花结局 另一种浇花结局 第 1 盆 25 杯 4 杯 第 1 盆 第 2 盆 13 杯 21 杯 第 2 盆 第 3 盆 10 杯 17 杯 第 3 盆 第 4 盆 6 杯 8 杯 第 4 盆 第 100 盆 36 杯 13 杯 第 100 盆 推而广之，如果问在 N 盆花中任选 n1盆花浇上例如 x1杯水，那么实现这 种结局的具体办法会有多少种呢？这也就是数学上的组合问题。数学上从 N 个 中任取其中 n1个的方法数 W1应当是 )!( !1111 nNnNCWn N= W1表示了N盆花中任取n1盆花浇上若干杯 （如x1杯)水时， 会有多少种浇花 的具体办法。这里N！代表N的阶乘，如 5!=

7、54321=120 。 问题至此显然没有分析完，因为这N盆花是规定每盆花都要浇上一些水的。 所以我们要进而分析在N盆中有nl盆浇了x1杯的同时，还有n2盆浇了x2杯，n33盆浇了x3杯，以至有np盆花浇了xP杯水的这种结局有多少种浇花的办法。 在计算这个扩大了的问题之前一先让我们把这个扩大了的问题本身再说的 清楚一些。现在要研究的并不仅是N盆中有n1盆浇了x1杯的问题，而是由我们 任意给定一串数n1，n2，n3， np， 让它们分别代表浇了x1杯，x2杯，x3杯， ， xp杯水的花盆的盆数（杯数与盆数要分辨开！ ） 。这里x1，x2，x3，xp也是一 些由人给定的一串数。对于这两串数(或说两个

8、数组)给出不同的一个个的具体 值，它就代表了种结局。而问题仍是实现该结局会有多少个具体办法的问题。 这里每一个结局是由两组由人给出的数来表示的。为清楚计，我们将之表示成下 式（这两串数虽然由人门任意给，但也有两个约制条件，这在后边再分析） 。 杯数：x1，x2，x3，xp 盆数：n1，n2，n3，np 为计算由上式的两组数所代表的一个确定结局会有多少种具体实现它的办 法，我们要把前面仅从N个中任取n1的计算办法再扩大化。前面得出从N盆中任取ni盆浇x1杯的办法数是1n NC 个。 显然在N盆中已有n1盆浇了x1盆之后在余下的N-x1盆中有n2盆浇了x2杯水的方法数w2应当是121n nNC即

9、)!( !)!(2121 221nnNnnNCWn nN=这是说每一个具体的某n1盆花浇了x1杯水之后又有W2这么多个具体的实现 n2盆浇上了x1杯水的办法。由于有n1盆浇x1杯的方法共有W1个，所以实现N 盆中有n1浇x1杯同时有n2盆浇x2杯的具体办法就应当有W1乘以W2这么多个。 照此推而广之，实现N盆中有n1盆浇了x1杯同时n2盆为x2杯，n3盆为x3 杯以至np盆xp杯这种结局(这一个结局由两组数n1，n2，n3，np ；x1，x2， x3，xp表示)应当有W1乘以W2乘W3乘Wp这么多个具体办法实现它。如 果把这p个Wi的连乘积记为W，那么应当有 =piiPWWWWWWW1321.

10、将前面的关系代入上式得 =piippppnNWnnnNWnnnNnnnnNnnNnnN nNnNW1212112121211! 1!.!)!.( !)!.(.)!( !)!( )!(!（1.1） 这就是实现一个给定结局时（对应于有n1，n2，n3，np盆分别为x1，x2， x3，xp杯） ，它的具体实现办法的个数W的计算公式。 43、算例与约束、算例与约束 有了一般公式，我们来做几个个体计算以加深对问题的认识并引出进一步的 问题。 在开始计算幼儿浇花的算例之前，我们先作一点计算；先求一下 50 升水一 共可以装成多少杯！由于每杯是 50 毫升（0.05 升）所以 50 升水一共可以装 50/0

11、.05=1000 杯水。再者由于有 100 盆花（N=100） ，所以平均每盆花应当浇 1000/100=10 杯水。 下面算一个简单的问题：设有 99 盆花都浇了 9 杯水，问一共有多少种浇水 办法 由于最初给定的条件是 50 升水必需用完，而且每盆必须浇上水，所以上述 问题中99盆浇了999=89l杯水之后余下的l000-89l=l09杯水应当全部浇在另 一盆花中。这样我们的杯数x1和x2分别应当是 9 和 l09 而对应的n1和n2分别为 99 和 l 即有表 浇水杯数 x1=9 x2=109 对应的盆数n1=99n2=1 依W的公式将上述n1，n2以及N=100 代入得 ! 1 !99

12、 !100 !211= =nnNnNWpiiW=100 即共有 100 种浇花办法都能实现上述结局，它可以是第一盆浇了 109，余下 的 99 盆各浇了 9 杯。 也可以是第二， 第三， 第一百盆浇 109 杯， 余者 9 杯 这 样恰好是 l00 种办法。 如果再简单一点，假设每盆恰好浇 l0 杯(是其平均值)那么n1就等于 100， 代入W公式得 W=100！/100！=1 （n2= n3=0，0！=1） 即对于第二个例子买际上仅有一个浇花方法。 它与第一个例子中的方法数(W 的值)竟然差 l00 倍! 对于N值已经确定了的问题来说，W值的大小(实现它的方法数的多少)以W 的计算公式看，取

13、决于n1，n2这些个数。显然W的值最小应当等于 l，最大肯 定是一个有限值，而不是无穷大。要使W值大，显然要让W公式的分母要小， 易于想见，如果让n1=N2，那么W值就可能加大很多。寻此思路我们又设计了 第三个例子。 例三中我们让 50 盆花浇 l5 杯水(n1=50，x1=15)，这时余下 5 0 盆花还余有 1000-5015=250 杯水。我们如将这 250 杯水均分给余下的 50 盆，那么每盆浇 5 杯就恰好用完。这时n2=50，x2=5。这样W的公式变成了 W=100!/(50!50！ ） 我们求得W=1.011029。这个十分庞大的数字告诉我们实现 5 0 盆浇 15 杯，另 50

14、 盆浇 5 杯的具体办法实在太多了。 W值这么大是由于我们设法让n1恰好是N的一半而得到的。仿此精神我们 还可以进一步再让n2=12，n3= n2/3这样显然还会使W的值进一步加大。 5通过这几个例子我们要明确这样两个概念和它们的差别，一个概念就是分配 方案分配 方案， 另一个是具体实施该方案的办法的个数办法的个数。 我们说把水均分给每盆花(例二)、 或说 99 盆花每盆浇 9 杯另一盆浇 109 杯(例一)或说 50 盆各浇 l5 杯另 5O 盆各浇 5 杯(例三)这就是三种分配方案。从算例中我们看到分配方案不同(例一、二、 三，各不相同)实施每个方案的具体办法的个数(W)就大不相同。例二仅

15、有一个 具体实施办法。而例一和例三则分别有 lOO 和 1.011029个具体实施办法。如果我们分不清什么是分配方案的个数(三个例中每一例仅有一个)和具体实施办法 的个数(三个例子中分别为 100，1，1.011029。)那么后边的讨论就难以深入下去了。 上面三个例子虽然是我们任意给出来的，但是设计这些例子时也要小心翼 翼，这是因为还有两个约束条件我们必需要满足它才行。这两个约束就是每次浇 花必需把 5 0 升水全部用完和总计浇的盆数应当是 l00 盆，不能有的没有浇或盆 数超过N。如果用方程来表达这后一个约束，那么可以写成： n1+ n2+ np=N =piiNn1（1.2） 对于前一个约束

16、也可以写成 =+piiippXxnvVxnxnxn12211/.（1.3） 这里我们用常数X代替V/v是为了以后讨论其他类型问题的方便。这里只 要求记住上式的各个“乘积项”的和为个常数就够了。 我们显然可以设计各种n1， n2的分配状况，但任意一个分配方案都要求 满足上述两个约束方程。我们已给的三个算例都是满足这两个约束方程的。 有了这两个约束方程和上面三个例子中引出的W的值还可以进一步加大的 认识，就为我们探讨W的极大值的问题做了准备。 4 实施方法最多的那种分配方案是什么实施方法最多的那种分配方案是什么 上一节的第二个算例告诉我们使每盆花浇 l0 杯水的方法仅有一种。例一则 表明一盆浇 l09 杯余下 99 盆浇 9 杯的